Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
x^2+y^2+z^2-6 x-10 y=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de uma quádica: . O que precisamos fazer aqui é identificar que tipo de quádica é essa e desenhar um esboço destacando elementos importantes como interseções com os eixos coordenados, centro e vértices. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis e e então ver qual quádica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a visualização:
x^2 - 6x + y^2 - 10y + z^2 = 7
Aqui, temos termos quadráticos em , e , e termos lineares em e .

Passo 3

A próxima etapa é completar o quadrado para as variáveis x^2 - 6x e x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da quádica. Vamos começar com :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é -6, dividimos por 2, ficando -3, e então elevamos ao quadrado, dando 9. Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para y^2 - 10y :
y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25
Metade de -10 é -5, e ao quadrado fica 25. Então:

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
(x - 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 + z^2 = 7
Agora, vamos simplificar:
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 + z^2 - 34 = 7
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 + z^2 = 41

Passo 6

Observamos agora que a equação está na forma padrão de uma esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
h = 3, k = 5, l = 0, r^2 = 41
Portanto, o centro da esfera é e o raio é .

Passo 7

Agora, vamos identificar as interseções com os eixos coordenados:
  • Eixo X ( (x - 3)^2 + (0 - 5)^2 + 0 = 41 , (x - 3)^2 = 16 ):
    x - 3 = pm 4
    x = 7 ou x = -1
    (0 - 3)^2 + (y - 5)^2 + 0 = 41
    (y - 5)^2 = 32
    Então, interseções em y - 5 = pm raiz32 e y = 5 pm 4raiz2 .
  • Eixo Y ( (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 + z^2 = 41 , 9 + 25 + z^2 = 41 ):
    z^2 = 7
    z = pm raiz7
    Então, interseções em e .
  • Eixo Z ( , ):
    Então, interseções em e .

Passo 8

Para finalizar, vamos fazer um esboço. Imagine uma esfera com centro no ponto e raio . As interseções com os eixos nos mostram onde a esfera corta cada eixo, e esses pontos ajudam a visualizar melhor a posição e o tamanho da esfera no espaço tridimensional.

Resposta

A quádica representada é uma esfera com centro em e raio . As interseções com os eixos coordenados são:
  • Eixo X: e
  • Eixo Y: e
  • Eixo Z: e
    O esboço seria uma esfera centrada em com os pontos de interseção destacados nos respectivos eixos.

Exercícios relacionados