Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de uma quádica:
. O que precisamos fazer aqui é identificar que tipo de quádica é essa e desenhar um esboço destacando elementos importantes como interseções com os eixos coordenados, centro e vértices. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
e então ver qual quádica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a visualização:
Aqui, temos termos quadráticos em
,
e
, e termos lineares em
e
.
Passo 3
A próxima etapa é completar o quadrado para as variáveis
e
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da quádica. Vamos começar com
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2, ficando -3, e então elevamos ao quadrado, dando 9. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para
:
Metade de -10 é -5, e ao quadrado fica 25. Então:
Passo 5
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar:
Passo 6
Observamos agora que a equação está na forma padrão de uma esfera:
Comparando com a nossa equação:
Portanto, o centro da esfera é
e o raio é
.
Passo 7
Agora, vamos identificar as interseções com os eixos coordenados:
-
Eixo X (
, ): Então, interseções eme . -
Eixo Y (
, ): Então, interseções eme . -
Eixo Z (
, ): Então, interseções eme .
Passo 8
Para finalizar, vamos fazer um esboço. Imagine uma esfera com centro no ponto
e raio
. As interseções com os eixos nos mostram onde a esfera corta cada eixo, e esses pontos ajudam a visualizar melhor a posição e o tamanho da esfera no espaço tridimensional.
Resposta
A quádica representada é uma esfera com centro em
e raio
. As interseções com os eixos coordenados são:
- Eixo X:
e - Eixo Y:
e - Eixo Z:
e
O esboço seria uma esfera centrada emcom os pontos de interseção destacados nos respectivos eixos.