Determine se os vetores abaixo formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I).
u=(-1,2,3), v=(2,0,-2) e w=(1,1,-1)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede e qual é o conteúdo relacionado. O problema nos dá três vetores no espaço tridimensional:
u = (-1, 2, 3), v = (2, 0, -2), w = (1, 1, -1)
E nos pergunta se esses vetores formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a verificação da dependência linear entre vetores através do cálculo do determinante ou análise de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que significa ser linearmente dependente ou independente:
  • Linearmente Independente (L.I): Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para a equação é .
  • Linearmente Dependente (L.D): Pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, ou seja, existe uma solução não trivial (alguns coeficientes diferentes de zero) para .

Passo 3

Uma forma prática de verificar isso é montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; caso contrário, são independentes.
Nossa matriz A = -1 & 2 & 1 2 & 0 & 1 3 & -2 & -1 fica assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado por:
det(A) = (-1)(0 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) - 2(2 cdot (-1) - 1 cdot 3) + 1(2 cdot (-2) - 0 cdot 3)
Aplicando os valores:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
(-1)(0 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) = (-1)(0 + 2) = (-1)(2) = -2
  1. Segundo termo:
-2(2 cdot (-1) - 1 cdot 3) = -2(-2 - 3) = -2(-5) = 10
  1. Terceiro termo:
1(2 cdot (-2) - 0 cdot 3) = 1(-4 - 0) = 1(-4) = -4

Passo 6

Agora, somamos os três termos:
-2 + 10 - 4 = 4

Resposta

Como o determinante , os vetores , e são linearmente independentes.

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