Determine se os vetores abaixo formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I). e
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede e qual é o conteúdo relacionado. O problema nos dá três vetores no espaço tridimensional:
E nos pergunta se esses vetores formam um conjunto linearmente dependente (L.D) ou independente (L.I). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a verificação da dependência linear entre vetores através do cálculo do determinante ou análise de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que significa ser linearmente dependente ou independente:
Linearmente Independente (L.I): Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para a equação é .
Linearmente Dependente (L.D): Pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, ou seja, existe uma solução não trivial (alguns coeficientes diferentes de zero) para .
Passo 3
Uma forma prática de verificar isso é montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; caso contrário, são independentes.
Nossa matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado por: