Determine o tipo de superfície definida pela equação
, onde
, e
, e esboce a superfície.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir que tipo de superfície estamos lidando com a equação
. Estamos lidando com superfícies quadráticas, que são expressas por equações do segundo grau com termos quadráticos em
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes de cada termo e entender como eles influenciam o tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos na equação
:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a natureza da superfície quadrática depende dos sinais e dos valores desses coeficientes. Quando temos uma equação da forma
:
- Se todos os coeficientes têm o mesmo sinal, geralmente formamos uma elipsoide.
- Se dois termos têm sinais iguais e um diferente, formamos uma hipérbole.
No nosso caso, dois coeficientes são positivos (
e
) e um é negativo (
), indicando que estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 4
Mais especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, a superfície é uma hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com um prato oco ou uma sela, se imaginarmos em 3D. Ela tem uma curva hiperbólica em uma direção e elíptica nas outras.
Passo 5
Para esboçar a superfície, podemos considerar os cortes nos planos:
- Plano
: A equação se torna , que é uma elipse. - Plano
: A equação se torna , que é uma hipérbole. - Plano
: A equação se torna , que também é uma hipérbole.
Esses cortes nos mostram que a superfície tem uma combinação de formas elípticas e hiperbólicas, confirmando que é um hiperboloide de uma folha.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um hiperboloide de uma folha. O esboço dessa superfície se assemelha a um prato oco, com curvas elípticas e hiperbólicas em diferentes planos.