Determine o tipo de superfície definida pela equação A x^2+B y^2+ C z^2=1, onde A=4, B=1, e C=-1, e esboce a superfície.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir que tipo de superfície estamos lidando com a equação . Estamos lidando com superfícies quadráticas, que são expressas por equações do segundo grau com termos quadráticos em , e . Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes de cada termo e entender como eles influenciam o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos na equação :
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a natureza da superfície quadrática depende dos sinais e dos valores desses coeficientes. Quando temos uma equação da forma :
  • Se todos os coeficientes têm o mesmo sinal, geralmente formamos uma elipsoide.
  • Se dois termos têm sinais iguais e um diferente, formamos uma hipérbole.
No nosso caso, dois coeficientes são positivos ( e ) e um é negativo ( ), indicando que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 4

Mais especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, a superfície é uma hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com um prato oco ou uma sela, se imaginarmos em 3D. Ela tem uma curva hiperbólica em uma direção e elíptica nas outras.

Passo 5

Para esboçar a superfície, podemos considerar os cortes nos planos:
  • Plano : A equação se torna , que é uma elipse.
  • Plano : A equação se torna , que é uma hipérbole.
  • Plano : A equação se torna , que também é uma hipérbole.
Esses cortes nos mostram que a superfície tem uma combinação de formas elípticas e hiperbólicas, confirmando que é um hiperboloide de uma folha.

Resposta

A superfície definida pela equação é um hiperboloide de uma folha. O esboço dessa superfície se assemelha a um prato oco, com curvas elípticas e hiperbólicas em diferentes planos.

Exercícios relacionados