Dada a equação 3 x^2+2 y^2+z^2-6 x+4 y+2 z-8=0, determine o tipo de superfície quadrática e suas características geométricas (centro, focos, eixos principais, etc). ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação quadrática . Nosso objetivo é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e identificar suas características geométricas, como o centro, os focos e os eixos principais. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para cada variável (x, y e z) e trazer a equação para a forma padrão das superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos semelhantes para cada variável:
3x^2 - 6x + 2y^2 + 4y + z^2 + 2z = 8
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.

Passo 3

Começando com o termo de 3x^2 - 6x = 3(x^2 - 2x) :
(-22)^2 = 1
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de 3(x^2 - 2x + 1 - 1) = 3((x - 1)^2 - 1) = 3(x - 1)^2 - 3 , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo com o termo de 2y^2 + 4y = 2(y^2 + 2y) :
(22)^2 = 1
Completando o quadrado:
2(y^2 + 2y + 1 - 1) = 2((y + 1)^2 - 1) = 2(y + 1)^2 - 2
Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 5

Por último, completamos o quadrado para o termo de z^2 + 2z = (z^2 + 2z + 1 - 1) = (z + 1)^2 - 1 :

Passo 6

Agora, substituímos todas as expressões na equação original:
3(x - 1)^2 - 3 + 2(y + 1)^2 - 2 + (z + 1)^2 - 1 = 8
Simplificando:
3(x - 1)^2 + 2(y + 1)^2 + (z + 1)^2 - 6 = 8
Adicionando 6 em ambos os lados:
3(x - 1)^2 + 2(y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 14

Passo 7

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 14:
3(x - 1)^214 + 2(y + 1)^214 + (z + 1)^214 = 1
Simplificando as frações:
(x - 1)^2143 + (y + 1)^27 + (z + 1)^214 = 1

Passo 8

Agora, analisando a forma padrão da equação:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Vemos que temos todos os termos positivos, o que caracteriza uma elipsoide.

Passo 9

Identificando as características geométricas:
  • Centro:
  • Eixos principais:
    • Eixo : comprimento
    • Eixo : comprimento
    • Eixo : comprimento
A elipsoide tem três eixos principais de diferentes comprimentos, centrados no ponto .

Resposta

A equação representa uma elipsoide com centro no ponto . Seus eixos principais têm comprimentos aproximadamente de unidades ao longo do eixo , unidades ao longo do eixo e unidades ao longo do eixo .

Exercícios relacionados