Dada a equação
, determine o tipo de superfície quadrática e suas características geométricas (centro, focos, eixos principais, etc).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação quadrática
. Nosso objetivo é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e identificar suas características geométricas, como o centro, os focos e os eixos principais. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para cada variável (x, y e z) e trazer a equação para a forma padrão das superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos semelhantes para cada variável:
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.
Passo 3
Começando com o termo de
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo com o termo de
:
Completando o quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 5
Por último, completamos o quadrado para o termo de
:
Passo 6
Agora, substituímos todas as expressões na equação original:
Simplificando:
Adicionando 6 em ambos os lados:
Passo 7
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 14:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, analisando a forma padrão da equação:
Vemos que temos todos os termos positivos, o que caracteriza uma elipsoide.
Passo 9
Identificando as características geométricas:
- Centro:
- Eixos principais:
- Eixo
: comprimento - Eixo
: comprimento - Eixo
: comprimento
- Eixo
A elipsoide tem três eixos principais de diferentes comprimentos, centrados no ponto
.
Resposta
A equação representa uma elipsoide com centro no ponto
. Seus eixos principais têm comprimentos aproximadamente de
unidades ao longo do eixo
,
unidades ao longo do eixo
e
unidades ao longo do eixo
.