Determine todos os valores de para os quais , onde
Passo 1
Beleza, vamos descobrir todos os valores de que satisfazem a equação . Isso é parte do estudo de autovalores (ou valores próprios) em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que fazem esse determinante igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz A - lambda I3 = 2 - lambda & 3 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda . Aqui, é a matriz identidade de ordem . No nosso caso, é uma matriz , então também será . A matriz identidade é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I3) = (2 - lambda) times (1 - lambda) times (2 - lambda) . Para matrizes triangulares (como essa, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos na diagonal principal. Portanto,
Passo 4
Queremos encontrar os valores de (2 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) = 0 que fazem esse determinante igual a zero. Então, vamos resolver a equação:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero. Então, igualamos cada fator a zero:
Resposta
Os valores de que satisfazem são e . Note que aparece duas vezes, o que significa que ela tem multiplicidade 2.