Dada a equação
, determine o tipo de superfície quadrática e discuta suas seções transversais.**
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação
. O conteúdo aqui é sobre superfícies quadráticas, que são formas no espaço definidas por equações do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar identificar qual tipo de superfície essa equação representa e depois analisar suas seções transversais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para colocá-la numa forma mais padrão. Dividindo todos os termos por 36, ficamos com:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar os sinais e os coeficientes dessa equação. Temos dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
). Isso indica que estamos lidando com uma superfície chamada hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Para confirmar, lembre-se que a equação geral de um hiperboloide de uma folha é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
,
e
, confirmando que é um hiperboloide de uma folha.
Passo 5
Agora, vamos discutir as seções transversais dessa superfície.
-
Seção pelo plano
: Quando , a equação se torna , que é uma elipse. -
Seções paralelas aos planos coordenados:
- Para um valor fixo de
, a equação fica , que também representa elipses, mas com eixos maiores conforme aumenta. - Para um valor fixo de
ou , teremos equações que representam hipérboles.
- Para um valor fixo de
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de uma folha. Suas seções transversais incluem elipses no plano
e hipérboles quando cortadas por planos paralelos aos eixos.