Dada a equação 9 x^2+4 y^2-36 z^2=36, determine o tipo de superfície quadrática e discuta suas seções transversais.**

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação . O conteúdo aqui é sobre superfícies quadráticas, que são formas no espaço definidas por equações do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar identificar qual tipo de superfície essa equação representa e depois analisar suas seções transversais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para colocá-la numa forma mais padrão. Dividindo todos os termos por 36, ficamos com:
9x^236 + 4y^236 - 36 z^236 = 3636
Simplificando, temos:
x^24 + y^29 - z^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar os sinais e os coeficientes dessa equação. Temos dois termos positivos ( e ) e um termo negativo ( ). Isso indica que estamos lidando com uma superfície chamada hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para confirmar, lembre-se que a equação geral de um hiperboloide de uma folha é:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
x^24 + y^29 - z^2 = 1
Vemos que , e , confirmando que é um hiperboloide de uma folha.

Passo 5

Agora, vamos discutir as seções transversais dessa superfície.
  • Seção pelo plano : Quando , a equação se torna , que é uma elipse.
  • Seções paralelas aos planos coordenados:
    • Para um valor fixo de , a equação fica , que também representa elipses, mas com eixos maiores conforme aumenta.
    • Para um valor fixo de ou , teremos equações que representam hipérboles.

Resposta

A equação representa um hiperboloide de uma folha. Suas seções transversais incluem elipses no plano e hipérboles quando cortadas por planos paralelos aos eixos.

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