Encontre a equação de uma superfície quadrática cujas seções transversais nos planos x=0 e z=0 são parábolas, e no plano y=0 é uma elipse.**

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos encontrar a equação de uma superfície quadrática que, quando cortada pelos planos e , forma parábolas. Além disso, quando cortada pelo plano , forma uma elipse. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre superfícies quadráticas e suas seções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral pode ser representada pela equação:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Mas, para simplificar, vamos assumir que a superfície está centrada na origem ( Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0 ) e alinhada com os eixos coordenados, o que elimina os termos de produto cruzado e termos lineares:

Passo 3

Agora, vamos analisar as seções transversais:
  1. No plano By^2 + Cz^2 = 0 :
Substituindo By^2 = 0 implies y = 0 na equação da superfície, temos:
Ax^2 + By^2 = 0
Para que esta seja uma parábola, precisamos que um dos coeficientes seja zero. Suponhamos que Ax^2 = 0 implies x = 0 , então a equação se reduz a:
Isso não nos dá uma parábola. Então, vamos tentar outra abordagem. Talvez seja melhor deixar presente e considerar outras condições.
  1. No plano :
Substituindo , temos:
Para que isto seja uma parábola, um dos coeficientes deve ser zero. Se , a equação fica:
Isso não é uma parábola. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 4

Vamos assumir que a equação geral da superfície quadrática que estamos buscando é de segundo grau em z = Ay^2 + Bx^2 , já que as seções em e são parábolas, e uma elipse em . Uma forma adequada seria:

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa equação satisfaz as condições do problema:
  1. Plano z = Ay^2 :
0 = Ay^2 + Bx^2
Esta é a equação de uma parábola no plano 0 = Ay^2 implies y = 0 .
  1. Plano :
Para que esta seja uma parábola, deve ser zero:
Isso não nos dá uma parábola. Então, nossa suposição inicial precisa ser ajustada.

Passo 6

Vamos tentar uma forma diferente para a equação da superfície. Considerando uma parábola em z = Ay^2 + Bxy + Cx^2 e , e uma elipse em , podemos usar a seguinte forma:

Passo 7

Verificando as seções novamente:
  1. Plano z = Ay^2 :
0 = Ay^2 + B cdot 0 cdot y + C cdot 0^2 implies Ay^2 = 0 implies y = 0
Parábola, conforme desejado.
  1. Plano :
Isso ainda não nos dá uma parábola. Parece que precisamos ajustar a forma da equação.

Passo 8

Vamos considerar uma equação que mistura termos lineares e quadráticos de forma a obter parábolas nas seções desejadas. Uma possibilidade é:
z = Ay^2 + Bx

Passo 9

Verificando as seções:
  1. Plano z = Ay^2 :
0 = Ay^2 + Bx implies x = -ABy^2
Parábola, ok.
  1. Plano z = Bx :
Também uma parábola, conforme desejado.
  1. Plano :
Isso é uma reta, não uma elipse. Portanto, precisamos ajustar novamente.

Passo 10

Vamos tentar incluir o termo z = Ay^2 + Bx^2 na equação para obter a elipse na seção . Consideremos:

Passo 11

Verificando as seções:
  1. Plano z = Ay^2 :
0 = Ay^2 + Bx^2 implies y = raiz-BAx
Parábola, ok.
  1. Plano :
Isso é uma reta, não uma parábola. Parece que não estamos conseguindo satisfazer todas as condições simultaneamente.

Passo 12

Após tentar várias formas, a equação que satisfaz as condições do problema é aquela que tem termos mistos. Consideremos a seguinte forma:
z = y^24p - x^24q
Onde e são constantes que determinam a abertura das parábolas e da elipse.

Passo 13

Verificando as seções:
  1. Plano z = y^24p :
0 = y^24p - x^24q implies y^2p = x^2q implies y^2x^2 = pq
Parábola, ok.
  1. Plano :
Isso representa uma hiperbole, o que não é o que queremos. Portanto, precisamos ajustar novamente.

Passo 14

Finalmente, a forma correta que satisfaz todas as condições é uma elipsoide com um termo misto. A equação é:
z = y^2b^2 + x^2a^2
Onde e são constantes positivas.

Resposta

A equação da superfície quadrática desejada é:
z = y^2b^2 + x^2a^2

Exercícios relacionados