Encontre a equação de uma superfície quadrática cujas seções transversais nos planos
e
são parábolas, e no plano
é uma elipse.**
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos encontrar a equação de uma superfície quadrática que, quando cortada pelos planos
e
, forma parábolas. Além disso, quando cortada pelo plano
, forma uma elipse. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre superfícies quadráticas e suas seções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral pode ser representada pela equação:
Mas, para simplificar, vamos assumir que a superfície está centrada na origem (
) e alinhada com os eixos coordenados, o que elimina os termos de produto cruzado e termos lineares:
Passo 3
Agora, vamos analisar as seções transversais:
- No plano
:
Substituindo
na equação da superfície, temos:
Para que esta seja uma parábola, precisamos que um dos coeficientes seja zero. Suponhamos que
, então a equação se reduz a:
Isso não nos dá uma parábola. Então, vamos tentar outra abordagem. Talvez seja melhor deixar
presente e considerar outras condições.
- No plano
:
Substituindo
, temos:
Para que isto seja uma parábola, um dos coeficientes deve ser zero. Se
, a equação fica:
Isso não é uma parábola. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 4
Vamos assumir que a equação geral da superfície quadrática que estamos buscando é de segundo grau em
, já que as seções em
e
são parábolas, e uma elipse em
. Uma forma adequada seria:
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa equação satisfaz as condições do problema:
- Plano
:
Esta é a equação de uma parábola no plano
.
- Plano
:
Para que esta seja uma parábola,
deve ser zero:
Isso não nos dá uma parábola. Então, nossa suposição inicial precisa ser ajustada.
Passo 6
Vamos tentar uma forma diferente para a equação da superfície. Considerando uma parábola em
e
, e uma elipse em
, podemos usar a seguinte forma:
Passo 7
Verificando as seções novamente:
- Plano
:
Parábola, conforme desejado.
- Plano
:
Isso ainda não nos dá uma parábola. Parece que precisamos ajustar a forma da equação.
Passo 8
Vamos considerar uma equação que mistura termos lineares e quadráticos de forma a obter parábolas nas seções desejadas. Uma possibilidade é:
Passo 9
Verificando as seções:
- Plano
:
Parábola, ok.
- Plano
:
Também uma parábola, conforme desejado.
- Plano
:
Isso é uma reta, não uma elipse. Portanto, precisamos ajustar novamente.
Passo 10
Vamos tentar incluir o termo
na equação para obter a elipse na seção
. Consideremos:
Passo 11
Verificando as seções:
- Plano
:
Parábola, ok.
- Plano
:
Isso é uma reta, não uma parábola. Parece que não estamos conseguindo satisfazer todas as condições simultaneamente.
Passo 12
Após tentar várias formas, a equação que satisfaz as condições do problema é aquela que tem termos mistos. Consideremos a seguinte forma:
Onde
e
são constantes que determinam a abertura das parábolas e da elipse.
Passo 13
Verificando as seções:
- Plano
:
Parábola, ok.
- Plano
:
Isso representa uma hiperbole, o que não é o que queremos. Portanto, precisamos ajustar novamente.
Passo 14
Finalmente, a forma correta que satisfaz todas as condições é uma elipsoide com um termo misto. A equação é:
Onde
e
são constantes positivas.
Resposta
A equação da superfície quadrática desejada é: