Dada a equação x^2+y^2+z^2-2 x+4 y-6 z+3=0, complete o quadrado para determinar a equação canônica da superfície e identificar o tipo de quadrica.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é completar o quadrado para transformar essa equação na forma canônica de uma superfície quadrática e descobrir que tipo de superfície é essa. Pra fazer isso, vamos precisar entender como completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Começando com (-22)^2 = 1 :
Para completar o quadrado de (x^2 - 2x + 1) - 1 , pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Fazendo o mesmo para y^2 + 4y :
(42)^2 = 4
Pegamos o coeficiente de (y^2 + 4y + 4) - 4 , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos:

Passo 5

Agora para z^2 - 6z :
(-62)^2 = 9
Pegamos o coeficiente de (z^2 - 6z + 9) - 9 , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos:

Passo 6

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 - 6z + 9) - 9 + 3 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 1 - 4 - 9 + 3 = 0

Passo 7

Somando os números:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 11 = 0
Leva a:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 11

Resposta

A equação canônica da superfície é , que representa uma esfera com centro no ponto e raio .

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