Dada a equação
, complete o quadrado para determinar a equação canônica da superfície e identificar o tipo de quadrica.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é completar o quadrado para transformar essa equação na forma canônica de uma superfície quadrática e descobrir que tipo de superfície é essa. Pra fazer isso, vamos precisar entender como completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Começando com
:
Para completar o quadrado de
, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, podemos reescrever como:
Passo 4
Fazendo o mesmo para
:
Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos:
Passo 5
Agora para
:
Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Reescrevemos:
Passo 6
Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Somando os números:
Leva a:
Resposta
A equação canônica da superfície é
, que representa uma esfera com centro no ponto
e raio
.