Dada a equação x^2+y^2+z^2+6 x-8 y+2 z=0, complete o quadrado para identificar o tipo de quadrica e suas propriedades.**

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: Temos a equação e precisamos completar o quadrado para identificar que tipo de quádricas ela representa e quais são suas propriedades. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 6x + y^2 - 8y + z^2 + 2z = 0

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para a variável (62)^2 = 9 . O que fazemos é pegar o coeficiente de x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 - 8y + z^2 + 2z = 0 , que é 6, dividir por 2 e elevar ao quadrado:
(x + 3)^2 - 9 + y^2 - 8y + z^2 + 2z = 0
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de como um quadrado completo:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para a variável (-82)^2 = 16 . O coeficiente de (x + 3)^2 - 9 + y^2 - 8y + 16 - 16 + z^2 + 2z = 0 é -8:
(x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + z^2 + 2z = 0
Adicionamos e subtraímos 16 na equação:
Reescrevendo a parte de :

Passo 5

Vamos completar o quadrado para a variável (22)^2 = 1 . O coeficiente de (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + z^2 + 2z + 1 - 1 = 0 é 2:
(x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + (z + 1)^2 - 1 = 0
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Reescrevendo a parte de :

Passo 6

Agora, somamos todos os termos constantes:
-9 - 16 - 1 = -26
A equação fica então:
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 - 26 = 0
Adicionando 26 dos dois lados:
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 = 26

Passo 7

Agora, identificamos que a equação obtida está na forma padrão de uma esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Comparando com nossa equação:
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 = 26
Podemos ver que:
  • Centro
  • Raio

Resposta

A equação representa uma esfera com centro em e raio .

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