Resolva os sistemas de equações lineares.
l2 x1+2 x2+2 x3=0 -2 x1+5 x2+2 x3=1 8 x1+x2+4 x3=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. A gente tem três equações com três variáveis: , e . Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 (Equação 1) -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 (Equação 2) 8x1 + x2 + 4x3 = -1 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos eliminar uma das variáveis. Vamos escolher eliminar (2x1 - 2x1) + (2x2 + 5x2) + (2x3 + 2x3) = 0 + 1 0x1 + 7x2 + 4x3 = 1 . Para isso, observamos as Equações 1 e 2:
Equação 1: 7x2 + 4x3 = 1 (Equação 4)
Equação 2:
Somando a Equação 1 com a Equação 2, o se cancela:
Então, temos uma nova equação:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 4 times (2x1 + 2x2 + 2x3) = 4 times 0 8x1 + 8x2 + 8x3 = 0 (Equação 5) usando a Equação 1 e a Equação 3.
Equação 1 multiplicada por 4 dá:
(8x1 - 8x1) + (8x2 - x2) + (8x3 - 4x3) = 0 - (-1) 0x1 + 7x2 + 4x3 = 1 çã
Agora, subtraímos a Equação 3 da Equação 5:
Interessante, isso nos leva novamente à Equação 4. Isso significa que as Equações 4 e 5 são equivalentes, e precisamos de outra abordagem para continuar.

Passo 5

Vamos então resolver a Equação 4 para uma das variáveis. Vamos isolar 7x2 + 4x3 = 1 7x2 = 1 - 4x3 x2 = 1 - 4x37 :

Passo 6

Agora que temos 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2(1 - 4x37) + 2x3 = 0 2x1 + 2 - 8x37 + 2x3 = 0 em termos de 14x1 + 2 - 8x3 + 14x3 = 0 14x1 + 2 + 6x3 = 0 14x1 = -2 - 6x3 x1 = -2 - 6x314 = -1 - 3x37 , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar uma relação entre e .
Equação 1:
Multiplicando todos os termos por 7 para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora, temos -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 -2(-1 - 3x37) + 5(1 - 4x37) + 2x3 = 1 2 + 6x37 + 5 - 20x37 + 2x3 = 1 2 + 6x3 + 5 - 20x37 + 2x3 = 1 7 - 14x37 + 2x3 = 1 1 - 2x3 + 2x3 = 1 1 = 1 e em termos de . Vamos usar a Equação 2 para substituir esses valores e encontrar .
Equação 2:
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que indica que há infinitas soluções dependendo do valor de . Vamos escolher um valor para e encontrar e .

Passo 8

Vamos supor que x1 = -1 - 3t7 x2 = 1 - 4t7 , onde é qualquer número real. Então:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -1 - 3t7, x2 = 1 - 4t7, x3 = t onde t in R
Isso significa que para qualquer valor que você escolher para , você pode encontrar os correspondentes e que satisfazem todas as equações do sistema.

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