Sejam u=(-2,-3), v=(1,4), w=(3,-2) vetores no plano, determine algebricamente e geometricamente as seguintes operações entre vetores e escalares:
2 v+t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores no plano: , e . A tarefa é determinar, tanto de forma algébrica quanto geométrica, a operação , onde é um escalar. Isso significa que vamos multiplicar o vetor por 2 e depois somar um múltiplo escalar a esse resultado. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar vetores por escalares e como somar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o vetor 2v = 2 times (1, 4) = (2 times 1, 2 times 4) = (2, 8) por 2. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos somar o escalar 2v + t u = (2, 8) + t times (-2, -3) = (2 + (-2t), 8 + (-3t)) = (2 - 2t, 8 - 3t) ao vetor resultante . Mas aqui precisamos esclarecer: somar um escalar a um vetor não é uma operação direta, já que eles são tipos diferentes de entidades matemáticas. Geralmente, o que fazemos é multiplicar o escalar por um vetor específico, como o vetor unitário ou , ou considerar que o escalar está multiplicando outro vetor.
Vamos assumir que está multiplicando o vetor . Assim, a operação fica:

Passo 4

Então, de forma algébrica, a expressão (2 - 2t, 8 - 3t) (assumindo que multiplica ) resulta no vetor:

Passo 5

Geometricamente, o vetor é o vetor alongado pelo fator 2, ou seja, ele aponta na mesma direção de mas é duas vezes maior. Ao somar , estamos movendo o vetor na direção e sentido de , escalando essa movimentação pelo valor de . Isso significa que o vetor resultante aponta para uma posição que depende do valor de , combinando a direção de com a direção de .

Resposta

A operação resulta no vetor .

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