Dada a equação x^2+y^2-z^2=16, determine o tipo de quadrica e calcule a interseção com o plano z=4. ^*

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da quadrica e precisamos descobrir que tipo de quadrica é essa. Além disso, temos que encontrar como essa quadrica interage com o plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre quadricas e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de quadrica que temos. A equação geral de uma quadrica pode ser comparada com várias formas padrão, como elipsoides, hiperbólicas, parabólicas, etc. No nosso caso, a equação é .

Passo 3

Observando os sinais dos termos , e , percebemos que temos dois sinais positivos e um negativo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha. A presença do termo negativo em é característica desse tipo de quadrica.

Passo 4

Agora, vamos calcular a interseção da quadrica com o plano x^2 + y^2 - (4)^2 = 16 . Para isso, substituímos por 4 na equação da quadrica:

Passo 5

Simplificando a equação:
x^2 + y^2 - 16 = 16
x^2 + y^2 = 32
Isso representa a equação de um círculo no plano com raio .

Resposta

A quadrica é um hiperboloide de uma folha. A interseção dessa quadrica com o plano é um círculo de raio .

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