Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
4 x^2+4 y^2+4 z^2-8 z=2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação que representa uma quádricas, ou seja, uma superfície no espaço tridimensional. A equação dada é:
4 x^2 + 4 y^2 + 4 z^2 - 8 z = 2
Vamos precisar usar um pouco de álgebra para simplificar essa equação e identificar de qual tipo de quádricas estamos lidando. Basicamente, vamos organizar a equação para deixar claro qual é a forma dela e identificar seus elementos como centro e interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
x^2 + y^2 + z^2 - 2 z = 12
Agora, vamos focar na parte do . Queremos completar o quadrado para . Isso ajuda a identificar o centro da quádricas.

Passo 3

Para completar o quadrado para (-22)^2 = 1, pegamos o coeficiente de x^2 + y^2 + (z^2 - 2 z + 1) - 1 = 12, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:

Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:

Passo 4

Agora, a equação fica:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 1 = 12
Vamos mover o -1 para o outro lado:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 12 + 1
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 32

Passo 5

Olha só, essa é a equação de uma esfera! A forma geral da equação de uma esfera é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 32
Vemos que o centro da esfera é e o raio é .

Passo 6

Agora, para fazer o esboço, vamos identificar alguns elementos:
  • Centro:
  • Raio:
  • Interseções com os eixos:
    • Eixo X: Quando e ,
    • Eixo Y: Quando e ,
    • Eixo Z: Quando e ,

Resposta

A quádricas representa uma esfera com centro em , raio , e interseções nos eixos X e Y em e no eixo Z em .

Exercícios relacionados