Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação que representa uma quádricas, ou seja, uma superfície no espaço tridimensional. A equação dada é:
Vamos precisar usar um pouco de álgebra para simplificar essa equação e identificar de qual tipo de quádricas estamos lidando. Basicamente, vamos organizar a equação para deixar claro qual é a forma dela e identificar seus elementos como centro e interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
Agora, vamos focar na parte do
Passo 3
Para completar o quadrado para
, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Passo 4
Agora, a equação fica:
Vamos mover o -1 para o outro lado:
Passo 5
Olha só, essa é a equação de uma esfera! A forma geral da equação de uma esfera é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que o centro da esfera é
e o raio é
.
Passo 6
Agora, para fazer o esboço, vamos identificar alguns elementos:
- Centro:
- Raio:
- Interseções com os eixos:
- Eixo X: Quando
e , - Eixo Y: Quando
e , - Eixo Z: Quando
e ,
- Eixo X: Quando
Resposta
A quádricas
representa uma esfera com centro em
, raio
, e interseções nos eixos X e Y em
e no eixo Z em
.