Dada a expressão iterativa do método de Jacobi:
x1^k+1 & =13(3-x2^k+x3^k) x2^k+1 & =14(6-x1^k-x3^k) x3^k+1 & =15(5+x1^k-x2^k)
a) Podemos garantir que a sequência gerada será convergente, sem calculá-la? Explique sua resposta.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema de equações lineares resolvido pelo método de Jacobi de forma iterativa. A pergunta é se podemos garantir que a sequência de valores gerada por essas iterações vai convergir para uma solução sem precisar calcular cada passo. Para responder isso, precisamos entender um pouco sobre o método de Jacobi e quais condições garantem a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Jacobi. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma x1^k+1 & =13(3 - x2^k + x3^k) x2^k+1 & =14(6 - x1^k - x3^k) x3^k+1 & =15(5 + x1^k - x2^k) . A ideia é isolar cada variável em cada equação e usar os valores das variáveis da iteração anterior para calcular os novos valores.
No nosso caso, temos as seguintes equações iterativas:
Aqui, representa a iteração atual, e a próxima.

Passo 3

Para garantir a convergência do método de Jacobi, uma condição comum é que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal (diagonal) é maior do que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Vamos identificar a matriz dos coeficientes e verificar essa condição.

Passo 4

A matriz dos coeficientes A = 3 & -1 & 1 -1 & 4 & -1 1 & -1 & 5 correspondente ao sistema pode ser escrita a partir das equações iterativas:
Agora, vamos verificar a diagonal dominante para cada linha:
  1. Primeira linha: Coeficiente da diagonal é 3. A soma dos outros coeficientes é . Como , está diagonalmente dominante.
  2. Segunda linha: Coeficiente da diagonal é 4. A soma dos outros coeficientes é . Como , está diagonalmente dominante.
  3. Terceira linha: Coeficiente da diagonal é 5. A soma dos outros coeficientes é . Como , está diagonalmente dominante.

Passo 5

Como todas as linhas da matriz são diagonalmente dominantes, podemos concluir, de acordo com a teoria do método de Jacobi, que o processo iterativo vai convergir para a solução do sistema.

Resposta

Sim, podemos garantir que a sequência gerada pelo método de Jacobi será convergente, pois a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.

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