Considere o sistema de equações lineares:
Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de GaussSeidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: ou quando (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Seidel. Nosso objetivo é encontrar o vetor solução aproximado para o sistema dado, começando do vetor nulo. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e o método de iteração de Gauss-Seidel para prosseguir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso facilita as iterações no método de Gauss-Seidel. Nosso sistema é:
Vamos isolar cada :
  1. Para a primeira equação:
  1. Para a segunda equação:
  1. Para a terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com o vetor nulo, ou seja, . A cada iteração, atualizamos os valores de , e usando as equações reescritas.
Iteração 1:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então, após a primeira iteração, temos:

Passo 4

Vamos verificar a condição de parada. Precisamos calcular para :
Como e ainda não atingimos as duas iterações permitidas, vamos para a próxima.

Passo 5

Iteração 2:
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então, após a segunda iteração, temos:

Resposta

Após duas iterações, o vetor solução aproximado é:

Exercícios relacionados

b) Calcule 5 iterações do método de Jacobi com vetor inicial . Qual a tolerância alcançada? Poderíamos alcançar a mesma tolerância pelo método de Seidel?
Dada a expressão iterativa do método de Jacobi:
a) Podemos garantir que a sequência gerada será convergente, sem calculá-la? Explique sua resposta.
Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados?
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem com ;