Considere o sistema de equações lineares:
c 3 x1+2 x2+6 x3=0 5 x1+x2+x3=5 3 x1+6 x2+x3=6
Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de GaussSeidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: max 1 <= i <= 3|xi^(k+1)-xi^(k)|<5.10^-2 ou quando k=1 (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Seidel. Nosso objetivo é encontrar o vetor solução aproximado para o sistema dado, começando do vetor nulo. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e o método de iteração de Gauss-Seidel para prosseguir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso facilita as iterações no método de Gauss-Seidel. Nosso sistema é:
c 3 x1+2 x2+6 x3=0 5 x1+x2+x3=5 3 x1+6 x2+x3=6
Vamos isolar cada xi:
  1. Para a primeira equação:
x1 = -2 x2 -6 x3 3
  1. Para a segunda equação:
x2 = 5 -5 x1 -x3 1
  1. Para a terceira equação:
x3 = 6 -3 x1 -6 x2 1

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com o vetor nulo, ou seja, x^(0) = 0 0 0 . A cada iteração, atualizamos os valores de x1, x2 e x3 usando as equações reescritas.
Iteração 1:
  1. Calculando x1^(1):
x1^(1) = -2 times 0 -6 times 0 3 = 0
  1. Calculando x2^(1):
x2^(1) = 5 -5 times 0 -0 1 = 5
  1. Calculando x3^(1):
x3^(1) = 6 -3 times 0 -6 times 0 1 = 6
Então, após a primeira iteração, temos:
x^(1) = 0 5 6

Passo 4

Vamos verificar a condição de parada. Precisamos calcular max |xi^(1) - xi^(0)| para i = 1, 2, 3:
max |xi^(1) - xi^(0)| = max | 0-0 5-0 6-0 | = 6
Como 6 > 5 times 10^-2 e ainda não atingimos as duas iterações permitidas, vamos para a próxima.

Passo 5

Iteração 2:
  1. Calculando x1^(2):
x1^(2) = -2 times 5 -6 times 6 3 = -10 -36 3 = -46 3 approx -15.3333
  1. Calculando x2^(2):
x2^(2) = 5 -5 times (-15.3333) -6 1 = 5 + 76.6665 -6 = 75.6665 approx 75.6665
  1. Calculando x3^(2):
x3^(2) = 6 -3 times (-15.3333) -6 times 5 1 = 6 + 46 -30 = 22
Então, após a segunda iteração, temos:
x^(2) = -15.3333 75.6665 22

Resposta

Após duas iterações, o vetor solução aproximado é:
-15.3333 75.6665 22

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