Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de GaussSeidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: max 1 <= i <= 3|xi^(k+1)-xi^(k)|<5.10^-2 ou quando k=1 (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Seidel. Nosso objetivo é encontrar o vetor solução aproximado para o sistema dado, começando do vetor nulo. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e o método de iteração de Gauss-Seidel para prosseguir.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso facilita as iterações no método de Gauss-Seidel. Nosso sistema é:
c 3 x1+2 x2+6 x3=0 5 x1+x2+x3=5 3 x1+6 x2+x3=6
Vamos isolar cada xi:
Para a primeira equação:
x1 = -2 x2 -6 x3 3
Para a segunda equação:
x2 = 5 -5 x1 -x3 1
Para a terceira equação:
x3 = 6 -3 x1 -6 x2 1
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com o vetor nulo, ou seja, x^(0) = 0 0 0 . A cada iteração, atualizamos os valores de x1, x2 e x3 usando as equações reescritas.
Iteração 1:
Calculando x1^(1):
x1^(1) = -2 times 0 -6 times 0 3 = 0
Calculando x2^(1):
x2^(1) = 5 -5 times 0 -0 1 = 5
Calculando x3^(1):
x3^(1) = 6 -3 times 0 -6 times 0 1 = 6
Então, após a primeira iteração, temos:
x^(1) = 0 5 6
Passo 4
Vamos verificar a condição de parada. Precisamos calcular max |xi^(1) - xi^(0)| para i = 1, 2, 3:
max |xi^(1) - xi^(0)| = max | 0-0 5-0 6-0 | = 6
Como 6 > 5 times 10^-2 e ainda não atingimos as duas iterações permitidas, vamos para a próxima.
Passo 5
Iteração 2:
Calculando x1^(2):
x1^(2) = -2 times 5 -6 times 6 3 = -10 -36 3 = -46 3 approx -15.3333