b) Calcule 5 iterações do método de Jacobi com vetor inicial . Qual a tolerância alcançada? Poderíamos alcançar a mesma tolerância pelo método de Seidel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular 5 iterações do método de Jacobi começando com o vetor inicial . Para isso, precisamos saber a matriz do sistema linear que estamos resolvendo, ou seja, a matriz e o vetor . Além disso, vamos precisar entender como o método de Jacobi funciona e como a tolerância é definida para saber se conseguimos alcançar o mesmo nível de precisão com o método de Gauss-Seidel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Jacobi. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma . A ideia é isolar cada variável em uma equação e, em cada iteração, usar os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.
A fórmula geral para o método de Jacobi é:
onde:
  • é o novo valor da variável na -ésima iteração,
  • é o elemento da diagonal principal da matriz ,
  • é o elemento correspondente do vetor ,
  • são os elementos não diagonais da matriz ,
  • são os valores das variáveis na iteração anterior.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Supondo que a matriz e o vetor sejam conhecidos (você deve substituí-los pelos valores específicos do seu exercício), fazemos o seguinte para cada iteração:
  1. Iteração 1 ( ):
    Como , as somas vão resultar em zero, então:
  2. Iteração 2 ( ):
    Aqui, usamos os valores de que calculamos na iteração anterior.
  3. E assim por diante até a iteração 5.

Passo 4

Após cada iteração, calculamos a tolerância, que geralmente é a diferença entre os valores das iteracções consecutivas. A tolerância indica o quão próximo estamos da solução exata. Se a tolerância for menor que um valor predefinido (por exemplo, ), dizemos que a solução convergiu.
No método de Jacobi, pode ser que a tolerância alcance um certo valor após 5 iterações, mas isso depende da matriz e do vetor .

Passo 5

Sobre o método de Gauss-Seidel, a sua principal diferença em relação ao método de Jacobi é que, nele, já usamos os valores atualizados assim que estão disponíveis dentro da mesma iteração. Isso geralmente faz com que o Gauss-Seidel convirja mais rápido que o Jacobi, ou seja, alcance a mesma tolerância em menos iterações.
Então, sim, é provável que com o método de Gauss-Seidel a gente consiga alcançar a mesma tolerância em menos passos, mas isso também depende das características específicas da matriz .

Resposta

Depois de calcular 5 iterações do método de Jacobi com o vetor inicial , a tolerância alcançada foi de [valor específico, dependendo dos cálculos]. Além disso, utilizando o método de Gauss-Seidel, poderíamos alcançar a mesma tolerância em menos iterações, tornando-o geralmente mais eficiente para esse tipo de problema.

Exercícios relacionados

Dada a expressão iterativa do método de Jacobi:
a) Podemos garantir que a sequência gerada será convergente, sem calculá-la? Explique sua resposta.
(a) Obter a solução do sistema acima, com tolerancia (no máximo 4 iterações), via processo Iterativo de Gauss-Jacobi com vetor ,
Considere o sistema de equações lineares:
Determine o valor aproximado do vetor solução dele, usando o método iterativo de GaussSeidel, partindo do vetor nulo e usando 3 casas decimais. Pare quando: ou quando (duas iterações), o que ocorrer primeiro. Utilize 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Para os sistemas acima que tiverem convergência garantida encontre as 4 primeiras iterações usando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. No caso do sistema que não tenha convergência garantida, o que poderíamos fazer para que ele tivesse convergência garantida nos métodos numéricos estudados?