b) Calcule 5 iterações do método de Jacobi com vetor inicial . Qual a tolerância alcançada? Poderíamos alcançar a mesma tolerância pelo método de Seidel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular 5 iterações do método de Jacobi começando com o vetor inicial . Para isso, precisamos saber a matriz do sistema linear que estamos resolvendo, ou seja, a matriz e o vetor . Além disso, vamos precisar entender como o método de Jacobi funciona e como a tolerância é definida para saber se conseguimos alcançar o mesmo nível de precisão com o método de Gauss-Seidel.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Jacobi. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma . A ideia é isolar cada variável em uma equação e, em cada iteração, usar os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.
A fórmula geral para o método de Jacobi é:
onde:
é o novo valor da variável na -ésima iteração,
é o elemento da diagonal principal da matriz ,
é o elemento correspondente do vetor ,
são os elementos não diagonais da matriz ,
são os valores das variáveis na iteração anterior.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Supondo que a matriz e o vetor sejam conhecidos (você deve substituí-los pelos valores específicos do seu exercício), fazemos o seguinte para cada iteração:
Iteração 1 ():
Como , as somas vão resultar em zero, então:
Iteração 2 ():
Aqui, usamos os valores de que calculamos na iteração anterior.
E assim por diante até a iteração 5.
Passo 4
Após cada iteração, calculamos a tolerância, que geralmente é a diferença entre os valores das iteracções consecutivas. A tolerância indica o quão próximo estamos da solução exata. Se a tolerância for menor que um valor predefinido (por exemplo, ), dizemos que a solução convergiu.
No método de Jacobi, pode ser que a tolerância alcance um certo valor após 5 iterações, mas isso depende da matriz e do vetor .
Passo 5
Sobre o método de Gauss-Seidel, a sua principal diferença em relação ao método de Jacobi é que, nele, já usamos os valores atualizados assim que estão disponíveis dentro da mesma iteração. Isso geralmente faz com que o Gauss-Seidel convirja mais rápido que o Jacobi, ou seja, alcance a mesma tolerância em menos iterações.
Então, sim, é provável que com o método de Gauss-Seidel a gente consiga alcançar a mesma tolerância em menos passos, mas isso também depende das características específicas da matriz .
Resposta
Depois de calcular 5 iterações do método de Jacobi com o vetor inicial , a tolerância alcançada foi de [valor específico, dependendo dos cálculos]. Além disso, utilizando o método de Gauss-Seidel, poderíamos alcançar a mesma tolerância em menos iterações, tornando-o geralmente mais eficiente para esse tipo de problema.