rlr 3 x1+10 x2+5 x3 & =16 -1 x1+0.2 x3 & =0 13 x1+1 x2+33 x3 & =23
(a) Obter a solução do sistema acima, com tolerancia varepsilon=0.3 (no máximo 4 iterações), via processo Iterativo de Gauss-Jacobi com vetor x0=[0 ; 1 ; 0],

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. A gente tem três equações com três incógnitas ( , , ). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em função das outras e usar iterações para chegar numa solução aproximada. Nosso ponto de partida é o vetor inicial , e vamos parar se a diferença entre as iterações for menor que ou após no máximo 4 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis:
  1. Da primeira equação x1 = 16 - 10x2 - 5x33 , vamos isolar x1 = 0.2x3 :
    x3 = 23 - 13x1 - x233
  2. Da segunda equação x1^(k+1) = 16 - 10x2^(k) - 5x3^(k)3 x2^(k+1) = 0.2x3^(k) x3^(k+1) = 23 - 13x1^(k) - x2^(k)33 , vamos isolar . Porém, notamos que não está presente, então resolvemos para :
  3. Da terceira equação , vamos isolar :
Agora, temos as fórmulas iterativas para atualizar , e em cada passo:

Passo 3

Vamos começar as iterações! Nosso vetor inicial é x1^(1) = 16 - 10(1) - 5(0)3 = 16 - 103 = 63 = 2 . Agora, calculamos o próximo vetor x2^(1) = 0.2(0) = 0 usando as fórmulas acima:
  1. Calculando x3^(1) = 23 - 13(0) - 133 = 23 - 0 - 133 = 2233 approx 0.6667 :
    |2 - 0| = 2 > 0.3 |0 - 1| = 1 > 0.3 |0.6667 - 0| approx 0.6667 > 0.3
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Agora, vamos verificar se a diferença entre e é menor que . Calculamos a diferença absoluta para cada componente:
Como todas as diferenças são maiores que 0.3, precisamos continuar.

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, calculando x1^(2) = 16 - 10(0) - 5(0.6667)3 = 16 - 0 - 3.33353 = 12.66653 approx 4.2222 usando x2^(2) = 0.2(0.6667) approx 0.1333 :
  1. Calculando x3^(2) = 23 - 13(2) - 033 = 23 - 2633 = -333 approx -0.0909 :
    |4.2222 - 2| approx 2.2222 > 0.3 |0.1333 - 0| = 0.1333 < 0.3 | -0.0909 - 0.6667| approx 0.7576 > 0.3
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Vamos verificar a diferença entre e :
Como ainda há diferenças maiores que 0.3, seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Terceira iteração: calculando x1^(3) = 16 - 10(0.1333) - 5(-0.0909)3 = 16 - 1.333 - (-0.4545)3 = 16 - 1.333 + 0.45453 approx 15.12153 approx 5.0405 usando x2^(3) = 0.2(-0.0909) approx -0.0182 :
  1. Calculando x3^(3) = 23 - 13(4.2222) - 0.133333 = 23 - 54.8886 - 0.133333 approx -32.021933 approx -0.9692 :
    |5.0405 - 4.2222| approx 0.8183 > 0.3 | -0.0182 - 0.1333| approx 0.1515 < 0.3 | -0.9692 - (-0.0909)| approx 0.8783 > 0.3
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Ainda temos diferenças acima do limite, vamos para a última iteração permitida.

Passo 6

Quarta iteração: calculando x1^(4) = 16 - 10(-0.0182) - 5(-0.9692)3 = 16 + 0.1818 + 4.8463 approx 21.02783 approx 7.0093 usando x2^(4) = 0.2(-0.9692) approx -0.1938 :
  1. Calculando x3^(4) = 23 - 13(5.0405) - (-0.0182)33 = 23 - 65.5265 + 0.018233 approx -42.508333 approx -1.2873 :
    |7.0093 - 5.0405| approx 1.9688 > 0.3 | -0.1938 - (-0.0182)| approx 0.1756 < 0.3 | -1.2873 - (-0.9692)| approx 0.3181 > 0.3
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Como já atingimos o máximo de 4 iterações, paramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é:
x approx 7.0093 -0.1938 -1.2873

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