(a) Obter a solução do sistema acima, com tolerancia (no máximo 4 iterações), via processo Iterativo de Gauss-Jacobi com vetor ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. A gente tem três equações com três incógnitas (, , ). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em função das outras e usar iterações para chegar numa solução aproximada. Nosso ponto de partida é o vetor inicial , e vamos parar se a diferença entre as iterações for menor que ou após no máximo 4 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis:
Da primeira equação , vamos isolar :
Da segunda equação , vamos isolar . Porém, notamos que não está presente, então resolvemos para :
Da terceira equação , vamos isolar :
Agora, temos as fórmulas iterativas para atualizar , e em cada passo:
Passo 3
Vamos começar as iterações! Nosso vetor inicial é . Agora, calculamos o próximo vetor usando as fórmulas acima:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, .
Agora, vamos verificar se a diferença entre e é menor que . Calculamos a diferença absoluta para cada componente:
Como todas as diferenças são maiores que 0.3, precisamos continuar.
Passo 4
Vamos para a segunda iteração, calculando usando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, .
Vamos verificar a diferença entre e :
Como ainda há diferenças maiores que 0.3, seguimos para a próxima iteração.
Passo 5
Terceira iteração: calculando usando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Ainda temos diferenças acima do limite, vamos para a última iteração permitida.
Passo 6
Quarta iteração: calculando usando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Como já atingimos o máximo de 4 iterações, paramos aqui.
Resposta
Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é: