(a) Obter a solução do sistema acima, com tolerancia (no máximo 4 iterações), via processo Iterativo de Gauss-Jacobi com vetor ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. A gente tem três equações com três incógnitas ( , , ). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em função das outras e usar iterações para chegar numa solução aproximada. Nosso ponto de partida é o vetor inicial , e vamos parar se a diferença entre as iterações for menor que ou após no máximo 4 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis:
  1. Da primeira equação , vamos isolar :
  2. Da segunda equação , vamos isolar . Porém, notamos que não está presente, então resolvemos para :
  3. Da terceira equação , vamos isolar :
Agora, temos as fórmulas iterativas para atualizar , e em cada passo:

Passo 3

Vamos começar as iterações! Nosso vetor inicial é . Agora, calculamos o próximo vetor usando as fórmulas acima:
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Agora, vamos verificar se a diferença entre e é menor que . Calculamos a diferença absoluta para cada componente:
Como todas as diferenças são maiores que 0.3, precisamos continuar.

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, calculando usando :
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Vamos verificar a diferença entre e :
Como ainda há diferenças maiores que 0.3, seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Terceira iteração: calculando usando :
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Ainda temos diferenças acima do limite, vamos para a última iteração permitida.

Passo 6

Quarta iteração: calculando usando :
  1. Calculando :
  2. Calculando :
  3. Calculando :
Então, .
Diferenças entre e :
Como já atingimos o máximo de 4 iterações, paramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é:

Exercícios relacionados

Qual as principais diferenças entre o método de Gauss-Seidel e o método de Jacobi?
Seja o domínio limitado por tal que e . Determine
Dada a expressão iterativa do método de Jacobi:
a) Podemos garantir que a sequência gerada será convergente, sem calculá-la? Explique sua resposta.
b) Calcule 5 iterações do método de Jacobi com vetor inicial . Qual a tolerância alcançada? Poderíamos alcançar a mesma tolerância pelo método de Seidel?