Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
f) e^-x(a0+a1 x+ldots+an x^n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar usar propriedades das transformadas de Laplace, especialmente a propriedade do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é , onde é a transformada de . No nosso caso, temos , então .

Passo 3

Agora, vamos focar na parte polinomial . A transformada de Laplace de um polinômio de grau pode ser encontrada usando a linearidade da transformada e as transformadas individuais de .

Passo 4

Sabemos que a transformada de Laplace de LP(x) = a00!s^1 + a11!s^2 + ldots + ann!s^n+1 é . Então, aplicando isso a cada termo do polinômio, temos:

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade do deslocamento que mencionamos no Passo 2, multiplicamos a transformada de Lf(x) = a01(s + 1)^1 + a11(s + 1)^2 + ldots + ann!(s + 1)^n+1 por , o que significa substituir por na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(x) = sumk=0^n ak k!(s + 1)^k + 1 é:

Exercícios relacionados

Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
j) 1(p+a)(p+b)
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
d) 102 p+raiz2
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
e) 15p^2+4 p+29
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
g) rlly^prime prime-2 y^prime+y & = & x y(0)=k1, y^prime(0) & = & k2 ( Resp. y=k1 e^x+(k2-k1) x e^x)