Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
e) 15p^2+4 p+29

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a função de Laplace e precisa descobrir qual é a função original . Isso envolve usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para colocá-la numa forma que a gente reconheça e consiga achar a transformada inversa facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração p^2 + 4p + 29 = (p^2 + 4p + 4) + 25 = (p + 2)^2 + 25 . A ideia é completar o quadrado, que é uma técnica para reescrever uma expressão quadrática de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos fazer isso:
Aqui, adicionamos e subtraímos 4 dentro da expressão, para poder formar um quadrado perfeito com , que é igual a . Depois, sobraram 25.

Passo 3

Agora, substituímos o denominador original pela expressão que acabamos de encontrar:
F(p) = 15(p + 2)^2 + 25
Essa forma é mais conveniente porque se parece com a transformada de Laplace de funções que envolvem senos e cossenos com deslocamento no eixo .

Passo 4

Vamos lembrar que a transformada de Laplace da função Le^-at sin(bt) = b(p + a)^2 + b^2 é:
Comparando com a nossa expressão , vemos que:
  • (porque temos )
  • então

Passo 5

Agora, precisamos ajustar o numerador para que ele se encaixe exatamente na fórmula da transformada de Laplace. Na nossa expressão, o numerador é 15, e na fórmula é 15(p + 2)^2 + 25 = 3 cdot 5(p + 2)^2 + 25 . Portanto:
Isso porque .

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa:
f(x) = 3 cdot e^-2x sin(5x)
Aqui, multiplicamos por 3 para manter a igualdade, e usamos os valores de e que identificamos.

Resposta

A função original é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
f) e^-x(a0+a1 x+ldots+an x^n)
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
j) 1(p+a)(p+b)
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
g) rlly^prime prime-2 y^prime+y & = & x y(0)=k1, y^prime(0) & = & k2 ( Resp. y=k1 e^x+(k2-k1) x e^x)
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
b) 2 p+16p^2-16