Dada
, obtenha
.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a função de Laplace
e precisa descobrir qual é a função original
. Isso envolve usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para colocá-la numa forma que a gente reconheça e consiga achar a transformada inversa facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração
. A ideia é completar o quadrado, que é uma técnica para reescrever uma expressão quadrática de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos fazer isso:
Aqui, adicionamos e subtraímos 4 dentro da expressão, para poder formar um quadrado perfeito com
, que é igual a
. Depois, sobraram 25.
Passo 3
Agora, substituímos o denominador original pela expressão que acabamos de encontrar:
Essa forma é mais conveniente porque se parece com a transformada de Laplace de funções que envolvem senos e cossenos com deslocamento no eixo
.
Passo 4
Vamos lembrar que a transformada de Laplace da função
é:
Comparando com a nossa expressão
, vemos que:
-
(porque temos ) -
então
Passo 5
Agora, precisamos ajustar o numerador para que ele se encaixe exatamente na fórmula da transformada de Laplace. Na nossa expressão, o numerador é 15, e na fórmula é
. Portanto:
Isso porque
.
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa:
Aqui, multiplicamos por 3 para manter a igualdade, e usamos os valores de
e
que identificamos.
Resposta
A função original é
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função
.
f)
f)
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
j)
j)
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
g) Resp.
g)
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
b)
b)