Dada , determine: o esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza! A gente tem a função e precisa fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, pontos críticos, e análise da concavidade. Basicamente, vamos explorar como a função se comporta no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o domínio da função. Como é um polinômio, ela está definida para todo número real. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando . Então, . Portanto, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo x: resolvemos :
    As soluções são e . Como estamos trabalhando com números reais, a única interseção é em , ou seja, novamente.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo:
Essa derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Não há soluções reais para essa equação, o que significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo. Além disso, como é sempre positivo (para qualquer real), a função está sempre crescendo.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em extremos:
  • Quando , .
  • Quando , .
Isso nos mostra que a função vai subindo sem limites à medida que cresce e descendo sem limites à medida que $x diminui.

Passo 7

Por último, vamos verificar a concavidade da função calculando a segunda derivada:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos :
Então, em , a função muda de concavidade:
  • Para , → concava para baixo.
  • Para , → concava para cima.

Resposta

O gráfico da função é uma curva que passa pela origem , está sempre crescendo, e tem um ponto de inflexão em . A concavidade muda de baixo para cima nesse ponto. A função se estende ao infinito positivo quando aumenta e ao infinito negativo quando diminui. Com todas essas características, você pode esboçar o gráfico mostrando uma curva suave que atravessa o centro do plano cartesiano, subindo continuamente e invertendo a concavidade na origem.

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