Dada
, determine: o esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e precisa fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, pontos críticos, e análise da concavidade. Basicamente, vamos explorar como a função se comporta no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o domínio da função. Como
é um polinômio, ela está definida para todo número real. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos:
-
Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Então, . Portanto, o ponto de interseção é . -
Interseção com o eixo x: resolvemos
: As soluções sãoe . Como estamos trabalhando com números reais, a única interseção é em , ou seja, novamente.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo:
Essa derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Não há soluções reais para essa equação, o que significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo. Além disso, como
é sempre positivo (para qualquer
real), a função está sempre crescendo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em extremos:
- Quando
, . - Quando
, .
Isso nos mostra que a função vai subindo sem limites à medida que
cresce e descendo sem limites à medida que $x diminui.
Passo 7
Por último, vamos verificar a concavidade da função calculando a segunda derivada:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos
:
Então, em
, a função muda de concavidade:
- Para
, → concava para baixo. - Para
, → concava para cima.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que passa pela origem
, está sempre crescendo, e tem um ponto de inflexão em
. A concavidade muda de baixo para cima nesse ponto. A função se estende ao infinito positivo quando
aumenta e ao infinito negativo quando
diminui. Com todas essas características, você pode esboçar o gráfico mostrando uma curva suave que atravessa o centro do plano cartesiano, subindo continuamente e invertendo a concavidade na origem.
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, determine: os máximos e mínimos locais de
.
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, determine: os pontos
tais que a derivada se anula.
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, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.