Dada f(x) = x^3 + x, determine: os intervalos onde o sinal de f'' é positivo e onde é negativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar onde a segunda derivada de é positiva e onde é negativa. Vamos precisar usar o conceito de derivadas e entender como elas nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função. Para isso, aplicamos as regras básicas de derivação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos mostra a concavidade da função e como a taxa de variação da primeira derivada está se comportando.

Passo 4

Queremos saber onde é positivo e onde é negativo. Isso significa resolver as inequações:
Para :
Para :

Resposta

O sinal de é positivo para e negativo para .

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