( 2 pontos) Um tanque cilíndrico contendo água de raio 2,5 metros está sendo drenado a uma taxa de . Quão rápido está baixando a altura da água ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque cilíndrico com um raio de 2,5 metros que está sendo drenado a uma taxa de . Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura da água no tanque está diminuindo.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente relacionados ao volume de um cilindro e derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do volume de um cilindro:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cilindro.
Neste caso, o raio é constante e igual a 2,5 metros.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação do volume em relação ao tempo :
Aqui, assumimos que o raio não muda com o tempo, então ele é uma constante.

Passo 4

Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo, , é (o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Vamos substituir os valores conhecidos na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para :
Calculando o denominador:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na equação para encontrar :

Resposta

A altura da água está diminuindo a uma taxa de aproximadamente .

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Dada , determine: o esboço do gráfico de .