( 2 pontos) Um tanque cilíndrico contendo água de raio 2,5 metros está sendo drenado a uma taxa de
. Quão rápido está baixando a altura da água ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque cilíndrico com um raio de 2,5 metros que está sendo drenado a uma taxa de
. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura da água no tanque está diminuindo.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente relacionados ao volume de um cilindro e derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Vamos começar lembrando a fórmula do volume de um cilindro:
onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura do cilindro.
Neste caso, o raio
é constante e igual a 2,5 metros.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação do volume em relação ao tempo
:
Aqui, assumimos que o raio
não muda com o tempo, então ele é uma constante.
Passo 4
Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo,
, é
(o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Calculando o denominador:
Passo 6
Finalmente, substituímos de volta na equação para encontrar
:
Resposta
A altura da água está diminuindo a uma taxa de aproximadamente
.
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(2 pontos) Ache dois númeror positivos, cuja soma é 300 e tais que o produto deles seja máximo.
Dada
, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.
Dada
, determine: os máximos e mínimos locais de
.
Dada
, determine: o esboço do gráfico de
.