Dada a função
, determine: um domínio para o qual
possua inversa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um domínio onde a função
tenha uma função inversa. Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função quadrática é invertível, ou seja, quando ela é uma função injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma da função
. Sabemos que essa é uma função quadrática, que representa uma parábola. Para facilitar, vamos completar o quadrado para ver a posição do vértice da parábola:
Agora, percebemos que a parábola tem o vértice no ponto
e está voltada para cima.
Passo 3
Como a parábola está voltada para cima, ela não é uma função injetora em todo o seu domínio, porque para cada valor acima do vértice, existem dois valores de
que dão o mesmo
. Para garantir que a função seja injetora e, portanto, tenha uma inversa, precisamos restringir o domínio a um intervalo onde a função seja estritamente crescente ou decrescente.
Passo 4
Escolhemos, por exemplo, restringir o domínio para
. Nesse intervalo, a função
é estritamente crescente, ou seja, à medida que
aumenta,
também aumenta, garantindo que cada valor de
corresponda a apenas um valor de
.
Resposta
Um domínio adequado para que
possua inversa é
.
Exercícios relacionados
Dê o domínio e esboce o gráfico.
Dada
, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.
Dada a função
determine: os zeros da função,
Dada a função
, determine: o gráfico da inversa.