O símbolo [|x|] é usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a x, isto é,
[|x|]=n se n <= x
Essa função é chamada de função maior inteiro. Encontre, se existirem:
c) lim x 2[|x|]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da função maior inteiro, representada por [|x|], quando x se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é o estudo de limites e funções de passo, como a função maior inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta próximo de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função maior inteiro. Essa função, denotada por [|x|], pega um número x e retorna o maior inteiro que é menor ou igual a x. Por exemplo, [|2.3|] = 2, [|3|] = 3, e [|4.9|] = 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de 2. Precisamos considerar duas situações: quando x chega perto de 2 vindo dos valores menores (esquerda) e vindo dos valores maiores (direita).

Passo 4

Primeiro, vamos ver o limite pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2. Se pegarmos um número bem próximo de 2, mas menor que 2, como 1.9, 1.99, 1.999, etc., o maior inteiro menor ou igual a esses números é sempre 1. Portanto:
limx to 2^- [|x|] = 1

Passo 5

Agora, vamos ver o limite pela direita, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2. Se pegarmos um número bem próximo de 2, mas maior que 2, como 2.1, 2.01, 2.001, etc., o maior inteiro menor ou igual a esses números é sempre 2. Portanto:
limx to 2^+ [|x|] = 2

Passo 6

Para que o limite geral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. No nosso caso, vimos que:
limx to 2^- [|x|] = 1 e limx to 2^+ [|x|] = 2
Como 1 não é igual a 2, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim x 2[|x|] não existe porque os limites laterais são diferentes: limx to 2^- [|x|] = 1 e limx to 2^+ [|x|] = 2.

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