Dada f(x)=ll-2x-1, & x<-1 x^2+2 x, & x >=-1, calcule lim x -1^- f(x) e lim x -1^+ f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, muda a expressão dependendo do valor de . O que precisamos fazer aqui é calcular os limites dessa função quando se aproxima de -1 por valores menores que -1 (da esquerda) e por valores maiores ou iguais a -1 (da direita). Vamos usar o conceito de limite de funções definidas por partes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = -2x - 1 quando limx -1^- f(x) = limx -1^- ( -2x - 1 ) = -2-1 - 1 = -2-2 = 1 se aproxima de -1 pela esquerda, ou seja, . Nessa região, a função é definida por:
Para encontrar o limite, substituímos por -1 nessa expressão:
Então, o limite pela esquerda é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = x^2 + 2x quando limx -1^+ f(x) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 se aproxima de -1 pela direita, ou seja, . Nessa região, a função é definida por:
Como essa é uma função polinomial, que é contínua em todos os pontos, podemos simplesmente substituir por -1:
Portanto, o limite pela direita é -1.

Resposta

limx -1^- f(x) = 1 e limx -1^+ f(x) = -1

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