Usando mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo: integral0^-1 x^2 e^x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^-1 x^2 e^x^3 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de mudança de variáveis, também conhecida como substituição. Para resolver isso, precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a função dentro da integral, temos x^2 multiplicando e^x^3. Note que o expoente de e é x^3. Se fizermos u = x^3, a derivada de u em relação a x será importante.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x, temos:
dudx = 3x^2
Isso significa que du = 3x^2 dx. Podemos rearranjar para encontrar x^2 dx:
x^2 dx = du3

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original:
integral0^-1 x^2 e^x^3 , dx = integralu(0)^u(-1) e^u3 , du
Precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u. Quando x = 0, u = 0^3 = 0. Quando x = -1, u = (-1)^3 = -1.

Passo 5

Substituindo os limites:
integral0^-1 e^u3 , du = 13 integral0^-1 e^u , du
Agora, vamos integrar e^u em relação a u.

Passo 6

A integral de e^u é simplesmente e^u. Então:
13 integral0^-1 e^u , du = 13 [ e^u ]0^-1
Agora, substituímos os limites de integração na função antiderivada.

Passo 7

Calculando:
13 ( e^-1 - e^0 ) = 13 ( 1e - 1 ) = 13 ( -e - 1e ) = -e - 13e

Resposta

A integral integral0^-1 x^2 e^x^3 , dx é igual a -dfrace - 13e.

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