Dada a função
definida por
Determine
, se possível, de modo que a função
seja contínua em qualquer ponto. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras: uma para todo
diferente de 2, e outra quando
. O objetivo é descobrir qual o valor de
para que a função seja contínua em qualquer ponto. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Para
ser contínua no ponto
, o limite de
quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador
.
Passo 4
Fatorando o numerador:
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Passo 5
Observamos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar (desde que
):
Resposta
Para que a função
seja contínua em qualquer ponto, o valor de
deve ser igual a 20.
Exercícios relacionados
Dada
, existe o limite da função
quando
tende a -1 ? Justifique.
Dada
, calcule
e
.
Esboce o gráfico de :
Determine
e
para que a terna
seja função, sendo a regra
dada implicitamente pela equação