Dada a função f definida por
f(x) = { (5 x^3 - 10 x^2) / (x - 2) , se x ≠ 2 ; k , se x = 2 }
Determine k, se possível, de modo que a função f(x) seja contínua em qualquer ponto. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para todo diferente de 2, e outra quando . O objetivo é descobrir qual o valor de para que a função seja contínua em qualquer ponto. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Para ser contínua no ponto , o limite de quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2:
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador .

Passo 4

Fatorando o numerador:
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:

Passo 5

Observamos que aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar (desde que ):

Resposta

Para que a função seja contínua em qualquer ponto, o valor de deve ser igual a 20.

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