Dada , encontre o domínio e a imagem de e esboce seu gráfico. Além disso, ache .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem dessa função, esboçar seu gráfico e calcular , e . Para isso, vamos precisar entender o que significa domínio e imagem de uma função, além de como lidar com funções definidas por partes e expressões envolvendo valores absolutos.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição da função, vemos que ela possui duas expressões:
  1. para
  2. para
A expressão está definida para todo diferente de zero, já que não podemos dividir por zero. Além disso, a função está definida para , onde . Portanto, o domínio de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar as duas partes da função:
  • Para , temos . O valor absoluto de , , é sempre positivo, então:
    • Se ,
    • Se ,
  • Para ,
Portanto, os possíveis valores de são e . Isso significa que a imagem de é o conjunto .

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função . Sabemos que para todo , é ou , dependendo do sinal de , e em , .
  • Para : , então temos uma reta horizontal no nível
  • Para : , então temos uma reta horizontal no nível
  • Em : , então colocamos um ponto fechado em
Assim, o gráfico consiste em duas linhas paralelas horizontalmente, uma em e outra em , com um ponto em .

Passo 5

Por fim, vamos calcular , e . Vamos substituir , e na função original.
  • :
    Para ,
    Usando o resultado do passo 3, sabemos que é para e para , então:
    • Se ,
    • Se ,
    • Para ,
    Portanto, é igual a .
  • :
    Isso porque é sempre positivo para , e . Logo, para todo .
  • :
    Para :
    Portanto, para todo , e .

Resposta

  • Domínio de : Todos os números reais ( )
  • Imagem de :
  • Gráfico: Duas retas horizontais, uma em e outra em , com um ponto fechado em
  • Funções derivadas:
    • para todo
    • para todo e

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