Dada
, encontre o domínio e a imagem de
e esboce seu gráfico. Além disso, ache
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem dessa função, esboçar seu gráfico e calcular
,
e
. Para isso, vamos precisar entender o que significa domínio e imagem de uma função, além de como lidar com funções definidas por partes e expressões envolvendo valores absolutos.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando a definição da função, vemos que ela possui duas expressões:
-
para -
para
A expressão
está definida para todo
diferente de zero, já que não podemos dividir por zero. Além disso, a função está definida para
, onde
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar as duas partes da função:
-
Para
, temos . O valor absoluto de , , é sempre positivo, então: - Se
, - Se
,
- Se
-
Para
,
Portanto, os possíveis valores de
são
e
. Isso significa que a imagem de
é o conjunto
.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
. Sabemos que para todo
,
é
ou
, dependendo do sinal de
, e em
,
.
- Para
: , então temos uma reta horizontal no nível - Para
: , então temos uma reta horizontal no nível - Em
: , então colocamos um ponto fechado em
Assim, o gráfico consiste em duas linhas paralelas horizontalmente, uma em
e outra em
, com um ponto em
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular
,
e
. Vamos substituir
,
e
na função original.
-
: Para, Usando o resultado do passo 3, sabemos queé para e para , então: - Se
, - Se
, - Para
,
Portanto,é igual a . - Se
-
: Isso porqueé sempre positivo para , e . Logo, para todo . -
: Para: Portanto,para todo , e .
Resposta
- Domínio de
: Todos os números reais ( ) - Imagem de
: - Gráfico: Duas retas horizontais, uma em
e outra em , com um ponto fechado em - Funções derivadas:
-
-
para todo -
para todo e
-
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.
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Calcule o valor de
para que os pontos
e
pertençam ao gráfico da função
.