(a) Expresse o lucro semanal do fabricante como uma função de x.
(b) Use o resultado de (a) para determinar o lucro semanal se o preço de venda for \$ cada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para expressarmos o lucro semanal do fabricante como uma função de . Para isso, vamos precisar entender dois conceitos básicos: receita e custo. O lucro é basicamente a diferença entre a receita que a empresa ganha com as vendas e os custos que ela tem para produzir os produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de produtos vendidos por semana. A receita ( ) é o dinheiro que a empresa recebe pelas vendas. Ela é calculada multiplicando o preço de venda por unidade pelo número de unidades vendidas. Se chamarmos o preço de venda de , então:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o custo ( ). Geralmente, os custos têm duas partes: custos fixos e custos variáveis. Os custos fixos são despesas que não mudam com a quantidade produzida, como aluguel ou salários fixos. Já os custos variáveis mudam de acordo com a produção, como matéria-prima ou mão de obra direta. Se chamarmos o custo fixo de e o custo variável por unidade de , então:

Passo 4

O lucro ( ) é a diferença entre a receita e o custo. Então, usando as fórmulas que definimos:
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Agrupando os termos semelhantes:
Então, essa é a função do lucro em termos de .

Resposta

A função do lucro semanal do fabricante em função de é:

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