Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm , respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo . Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.

Passo 1

Então, a gente tem um cone onde o raio da base mede 10 cm e a altura mede 25 cm, mas tem uma possibilidade de erro de até 0,1 cm nessas medidas. A gente vai calcular qual é o erro máximo que pode acontecer no volume desse cone usando diferenciais, que é uma ferramenta de cálculo que ajuda a estimar variações pequenas em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cone: . Aqui, é o raio da base e é a altura do cone. Nosso objetivo é encontrar como o pequeno erro nas medidas de e afeta o volume .

Passo 3

A gente usa diferenciais para isso. A diferencial de em relação a e é dada por:
Onde e são os erros nos valores de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo os valores de cm e cm:

Passo 5

Agora, aplicamos os erros máximos cm e cm na equação de :

Resposta

O erro máximo estimado no volume do cone é aproximadamente cm³, ou seja, cerca de 62,83 cm³.

Exercícios relacionados

Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6 cm , um raio interno de 2 cm e uma espessura de . Se o custo do metal a ser usado ć de RS 10,00 por centímetro cúbico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que scrá empregado na produção do recipiente. .
Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto .
Mostre que é diferenciável em .
Dada
Calcule e .