Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm , respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo
. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.
Passo 1
Então, a gente tem um cone onde o raio da base mede 10 cm e a altura mede 25 cm, mas tem uma possibilidade de erro de até 0,1 cm nessas medidas. A gente vai calcular qual é o erro máximo que pode acontecer no volume desse cone usando diferenciais, que é uma ferramenta de cálculo que ajuda a estimar variações pequenas em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cone:
. Aqui,
é o raio da base e
é a altura do cone. Nosso objetivo é encontrar como o pequeno erro nas medidas de
e
afeta o volume
.
Passo 3
A gente usa diferenciais para isso. A diferencial de
em relação a
e
é dada por:
Onde
e
são os erros nos valores de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo os valores de
cm e
cm:
Passo 5
Agora, aplicamos os erros máximos
cm e
cm na equação de
:
Resposta
O erro máximo estimado no volume do cone é aproximadamente
cm³, ou seja, cerca de 62,83 cm³.
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. Se o custo do metal a ser usado ć de RS 10,00 por centímetro cúbico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que scrá empregado na produção do recipiente.
.
Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Mostre que
é diferenciável em
.
Dada
Calcule e
.
Calcule