Mostre que
é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar se nossa função atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se existir um plano tangente que aproxime bem a função perto desse ponto. Basicamente, a função deve poder ser aproximada por uma função linear (a derivada) perto desse ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é
.
Calculando o limite:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Seja
e
, onde
. Substituindo na função:
Como
é limitado (sempre menor ou igual a
), o limite quando
de
é
. Então:
Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais nos dizem a inclinação da função nas direções dos eixos.
Calculando a derivada parcial em relação a
em
:
Substituindo:
Então:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a
também será
:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar se a função é diferenciável usando a definição:
Substituindo os valores:
Usando novamente coordenadas polares:
Como
, o limite é
. Portanto, a condição para diferenciabilidade é satisfeita.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.