Mostre que f(x, y) = {(x^4 + y^4) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0)} é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto (0,0). Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar se nossa função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se existir um plano tangente que aproxime bem a função perto desse ponto. Basicamente, a função deve poder ser aproximada por uma função linear (a derivada) perto desse ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função f(x, y) é contínua em (0,0). Para isso, precisamos ver se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0, 0), que é 0.
Calculando o limite:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Seja e , onde . Substituindo na função:
Como é limitado (sempre menor ou igual a 1), o limite quando de é 0. Então:
Portanto, f(x, y) é contínua em (0,0).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais nos dizem a inclinação da função nas direções dos eixos.
Calculando a derivada parcial em relação a x em (0,0):
Substituindo:
Então:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a y também será 0:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar se a função é diferenciável usando a definição:
Substituindo os valores:
Usando novamente coordenadas polares:
Como , o limite é 0. Portanto, a condição para diferenciabilidade é satisfeita.

Resposta

A função f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).

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