Mostre que é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar se nossa função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se existir um plano tangente que aproxime bem a função perto desse ponto. Basicamente, a função deve poder ser aproximada por uma função linear (a derivada) perto desse ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função é contínua em . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é .
Calculando o limite:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Seja e , onde . Substituindo na função:
Como é limitado (sempre menor ou igual a ), o limite quando de é . Então:
Portanto, é contínua em .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos dizem a inclinação da função nas direções dos eixos.
Calculando a derivada parcial em relação a em :
Substituindo:
Então:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a também será :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar se a função é diferenciável usando a definição:
Substituindo os valores:
Usando novamente coordenadas polares:
Como , o limite é . Portanto, a condição para diferenciabilidade é satisfeita.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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