Dada f(x, y) = { (x * y * (x^2 - y^2)) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas formas: uma fórmula complicada quando não é igual a , e simplesmente zero quando é igual a . A questão é: será que essa função é diferenciável no ponto ? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como continuidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, pra saber se a função é diferenciável no ponto , a função precisa ser contínua lá. A continuidade é tipo uma condição básica: se a função não for contínua, já não tem como ser diferenciável. Então, vamos verificar se .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Vamos usar coordenadas polares pra facilitar. Vamos substituir e , onde é a distância ao ponto :
Agora, vamos ver o que acontece quando tende a zero:
Então, o limite é igual a zero, que é exatamente . Portanto, a função é contínua em .

Passo 4

Agora que sabemos que a função é contínua em , vamos verificar se ela é diferenciável lá. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais em e ver se a aproximação linear da função se comporta bem perto desse ponto.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a :
Então, ambas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. A função é diferenciável em se o limite seguinte for zero:
Como já vimos que e , a expressão simplifica para:
Vamos usar novamente coordenadas polares:
O valor absoluto dessa expressão é limitado por 1, já que os termos envolvendo senos e cossenos são sempre menores ou iguais a 1. Portanto, quando tende a zero, o limite também tende a zero.

Resposta

Então, a função é diferenciável em .

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