Dada
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas formas: uma fórmula complicada quando
não é igual a
, e simplesmente zero quando
é igual a
. A questão é: será que essa função é diferenciável no ponto
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como continuidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, pra saber se a função é diferenciável no ponto
, a função precisa ser contínua lá. A continuidade é tipo uma condição básica: se a função não for contínua, já não tem como ser diferenciável. Então, vamos verificar se
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Vamos usar coordenadas polares pra facilitar. Vamos substituir
e
, onde
é a distância ao ponto
:
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende a zero:
Então, o limite é igual a zero, que é exatamente
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora que sabemos que a função é contínua em
, vamos verificar se ela é diferenciável lá. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais em
e ver se a aproximação linear da função se comporta bem perto desse ponto.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
:
Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a
:
Então, ambas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto
.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. A função
é diferenciável em
se o limite seguinte for zero:
Como já vimos que
e
, a expressão simplifica para:
Vamos usar novamente coordenadas polares:
O valor absoluto dessa expressão é limitado por 1, já que os termos envolvendo senos e cossenos são sempre menores ou iguais a 1. Portanto, quando
tende a zero, o limite também tende a zero.
Resposta
Então, a função
é diferenciável em
.