Dada uma família de superfícies do tipo
constante, podemos construir um campo vetorial
que é normal à família de superfícies. A forma mais geral que este campo pode assumir é:
em que
é uma função diferenciável qualquer. Prove que
. Construa um vetor normal (e de módulo unitário) às superfícies do tipo
constante. Note que a coordenada
não possui restrição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre superfícies definidas por uma função
. Nosso objetivo é mostrar que o produto escalar entre o vetor normal
e o rotacional de
é zero, ou seja,
. Depois, vamos construir um vetor normal unitário para as superfícies do tipo
. Para isso, vamos precisar entender vetores normais, gradientes, rotacionais e algumas propriedades de produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
, representado por
, aponta na direção normal às superfícies
. Isso significa que
é perpendicular a essas superfícies.
Passo 3
O vetor normal
é dado por
, onde
é uma função diferenciável. Queremos mostrar que
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Usando a propriedade do rotacional de um produto de uma função escalar e um vetor, temos:
Neste caso,
, então:
Passo 5
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função é sempre zero, ou seja,
. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Lembramos que o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois vetores é igual a zero se os vetores forem linearmente dependentes. No nosso caso,
está envolvido em ambos os termos, o que torna a expressão igual a zero:
Portanto, provamos que
.
Passo 8
Agora, vamos construir um vetor normal unitário para as superfícies
.
Primeiro, identificamos a função que define as superfícies:
Passo 9
Calculamos o gradiente de
:
Passo 10
O vetor normal não unitário é:
Para que
seja unitário, precisamos que
. Calculamos a magnitude de
:
Passo 11
Para normalizar
, escolhemos
tal que:
Passo 12
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
O vetor normal unitário às superfícies
é: