Dada uma família de superfícies do tipo f(r)= constante, podemos construir um campo vetorial N(r) que é normal à família de superfícies. A forma mais geral que este campo pode assumir é:
N(r)=alpha(r) nabla f(r)
em que alpha(r) é uma função diferenciável qualquer. Prove que N cdot(nabla times N)=0. Construa um vetor normal (e de módulo unitário) às superfícies do tipo x^2+y^2= constante. Note que a coordenada z não possui restrição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre superfícies definidas por uma função . Nosso objetivo é mostrar que o produto escalar entre o vetor normal e o rotacional de é zero, ou seja, . Depois, vamos construir um vetor normal unitário para as superfícies do tipo . Para isso, vamos precisar entender vetores normais, gradientes, rotacionais e algumas propriedades de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função , representado por , aponta na direção normal às superfícies . Isso significa que é perpendicular a essas superfícies.

Passo 3

O vetor normal é dado por , onde é uma função diferenciável. Queremos mostrar que .

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de nabla times (alpha A) = alpha (nabla times A) + (nabla alpha) times A , que é nabla times N = nabla times (alpha nabla f) = alpha (nabla times nabla f) + (nabla alpha) times nabla f . Usando a propriedade do rotacional de um produto de uma função escalar e um vetor, temos:
Neste caso, , então:

Passo 5

Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função é sempre zero, ou seja, nabla times N = (nabla alpha) times nabla f . Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar N cdot (nabla times N) = alpha nabla f cdot [ (nabla alpha) times nabla f ] :

Passo 7

Lembramos que o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois vetores é igual a zero se os vetores forem linearmente dependentes. No nosso caso, alpha nabla f cdot [ (nabla alpha) times nabla f ] = 0 está envolvido em ambos os termos, o que torna a expressão igual a zero:
Portanto, provamos que .

Passo 8

Agora, vamos construir um vetor normal unitário para as superfícies f(x, y, z) = x^2 + y^2 .
Primeiro, identificamos a função que define as superfícies:

Passo 9

Calculamos o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 0) :

Passo 10

O vetor normal não unitário é:
N = alpha nabla f = alpha (2x, 2y, 0)
Para que |nabla f| = raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 0^2 = 2raizx^2 + y^2 seja unitário, precisamos que . Calculamos a magnitude de :

Passo 11

Para normalizar alpha = 1|nabla f| = 12raizx^2 + y^2 , escolhemos tal que:

Passo 12

Substituindo N = 12raizx^2 + y^2 (2x, 2y, 0) = ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2, 0 ) na expressão de :

Resposta

O vetor normal unitário às superfícies N = ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2, 0 ) é:

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