Dada a função , encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em senos convirja para para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função cuja série de Fourier em senos se aproxime da função no intervalo . Isso está relacionado ao estudo das séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de funções senoidais e cossenoidais. Neste caso, vamos focar na série de Fourier apenas em senos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier em senos para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é formada uma série de Fourier em senos. Para uma função definida no intervalo , a série de Fourier em senos é dada por:
Aqui, no nosso caso. Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Então, nosso próximo passo é calcular esses coeficientes para a função .
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes . Substituindo e na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos separar em duas partes:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular :
Agora, calculamos . Para isso, usamos integração por partes, onde:
⇒
⇒
Aplicando integração por partes:
Calculando os termos:
Como , temos:
Passo 5
Agora, juntando os resultados de e :
Simplificando:
Resposta
A função cuja série de Fourier em senos converge para no intervalo é: