Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
, onde
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Fourier da função
definida no intervalo
e que é periódica com período
. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função em uma soma de funções senoidais e cossenoidais usando as fórmulas da Série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, a Série de Fourier para uma função
periódica com período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante, e
e
são os coeficientes das séries de cossenos e senos, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Substituindo
:
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os cossenos:
Substituindo
:
Mas, como
é uma função ímpar e
é par, o produto é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Então,
para todo
.
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes
para os senos:
Substituindo
:
Essa integral não é zero porque
é ímpar e
também é ímpar, e o produto de duas funções ímpares é par. Calculando a integral:
Usando integração por partes, onde
e
, obtemos:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
é: