Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Fourier da função definida no intervalo e que é periódica com período . Para isso, vamos precisar entender como decompor a função em uma soma de funções senoidais e cossenoidais usando as fórmulas da Série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, a Série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes das séries de cossenos e senos, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para os cossenos:
Substituindo :
Mas, como é uma função ímpar e é par, o produto é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Então, para todo .

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes para os senos:
Substituindo :
Essa integral não é zero porque é ímpar e também é ímpar, e o produto de duas funções ímpares é par. Calculando a integral:
Usando integração por partes, onde e , obtemos:
Sabemos que e , então:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

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Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
b)
Seja a série de Fourier da função periódica para . Mostre que
Dada a função , encontre UMA FUNÇÃO cuja série de Fourier em senos convirja para para todo .
Seja função periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por .
b) Suponha contínua e contínua por partes e seja sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de .