Se f(x) tem série de Fourier dada por 2+sumn=1^infty 1n^2 cos 2 n x+1n^2+1 sen(2 n+1) x quais os valores de:
b) integral-pi^pi f(x) sen 20 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral integral-pi^pi f(x) sin 20x , dx, onde f(x) é representada por uma série de Fourier. Então, estamos lidando com Análise de Fourier, que estuda como funções periódicas podem ser decompostas em senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar a propriedade de ortogonalidade das funções trigonométricas na série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série de Fourier de f(x) que foi fornecida:
f(x) = 2 + sumn=1^infty ( 1n^2 cos 2n x + 1n^2 + 1 sin (2n + 1) x )
Aqui, temos termos de cosseno e seno com múltiplos diferentes de x. Nosso objetivo é encontrar a integral de f(x) multiplicada por sin 20x.

Passo 3

Vamos lembrar que, na série de Fourier, as funções senos e cossenos são ortogonais entre si. Isso significa que, se multiplicarmos duas funções trigonométricas diferentes e integrarmos sobre um período, o resultado será zero, a menos que sejam a mesma função.
Então, para encontrar integral-pi^pi f(x) sin 20x , dx, só precisamos identificar se existe um termo na série de f(x) que contenha sin 20x.

Passo 4

Olhemos para os termos de seno na série de f(x):
sumn=1^infty 1n^2 + 1 sin (2n + 1) x
Queremos que 2n + 1 = 20 para que tenhamos sin 20x. Resolvendo para n:
2n + 1 = 20
2n = 19
n = 192 = 9,5
Mas n deve ser um número inteiro positivo na série de Fourier. Como não existe um n inteiro que satisfaça 2n + 1 = 20, isso significa que não há um termo sin 20x na série de f(x).

Resposta

integral-pi^pi f(x) sin 20x , dx = 0

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