Dada a função
, determine
usando os valores de
e
. Calcule o erro de truncamento. Se necessário, considere 3 casas decimais.
Solução:
Solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar
para a função
. Isso faz parte do conteúdo de aproximação de funções usando polinômios de Taylor. Para resolver, vamos precisar calcular os valores de
em alguns pontos próximos a 0, especificamente em
,
e
, e usar esses valores para construir o polinômio de grau 2 que vai aproximar
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de
nos pontos dados:
Passo 3
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de 0. O polinômio geral de Taylor de grau 2 é dado por:
Mas como não temos derivadas, vamos usar os valores calculados para ajustar o polinômio.
Passo 4
Vamos considerar que
deve passar pelos pontos
,
,
e
. Com isso, ajustamos os coeficientes do polinômio para que ele se aproxime da função original nesses pontos.
Após os cálculos (que podem envolver sistemas lineares ou métodos de interpolação), chegamos ao polinômio aproximado:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para calcular
:
Aproximando para três casas decimais:
Passo 6
Para calcular o erro de truncamento, usamos a seguinte estimativa:
Onde:
-
é um valor que limita a derivada de ordem da função no intervalo considerado. -
é o grau do polinômio (no caso, 2).
Calculando com
e
, e considerando
adequado para nossa função, encontramos: