Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência absoluta e séries alternadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou não. Para isso, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série converge se (é uma série p).
Passo 4
No nosso caso, o denominador é , então seria como uma série p com . Mas temos um numerador extra, que é . A função cresce mais devagar que qualquer potência de , mas ainda assim cresce sem limites.
Passo 5
Vamos comparar com a série para algum . Mesmo assim, , o que significa que a série comparada diverge. Como é maior que para grandes , nossa série original também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda resta verificar se a série original é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 7
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
Os termos devem ser decrescentes.
O limite dos termos deve ser zero quando tende ao infinito.
Passo 8
Decrescimento: A função é decrescente para suficientemente grande.
Limite: porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Passo 9
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série original converge.