Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência absoluta e séries alternadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou não. Para isso, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série converge se (é uma série p).

Passo 4

No nosso caso, o denominador é , então seria como uma série p com . Mas temos um numerador extra, que é . A função cresce mais devagar que qualquer potência de , mas ainda assim cresce sem limites.

Passo 5

Vamos comparar com a série para algum . Mesmo assim, , o que significa que a série comparada diverge. Como é maior que para grandes , nossa série original também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda resta verificar se a série original é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 7

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos devem ser decrescentes.
  2. O limite dos termos deve ser zero quando tende ao infinito.

Passo 8

  1. Decrescimento: A função é decrescente para suficientemente grande.
  2. Limite: porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.

Passo 9

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série original converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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