Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a_n = arctan(2n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos achar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de matemática sobre limites e funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A é a função inversa da tangente e nos dá o ângulo cujo valor da tangente é . Além disso, sabemos que à medida que vai para mais infinito, se aproxima de .

Passo 3

Agora, observamos que na nossa sequência , quando aumenta, também aumenta sem limite. Ou seja, tende para quando tende para .

Passo 4

Como vai para , podemos usar o comportamento da que mencionei antes. Assim, quando tende para , tende para .

Passo 5

Portanto, aplicando isso na nossa sequência, temos que:
Isso significa que a sequência converge, e o seu limite é .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados