Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos achar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de matemática sobre limites e funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A
é a função inversa da tangente e nos dá o ângulo cujo valor da tangente é
. Além disso, sabemos que à medida que
vai para mais infinito,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, observamos que na nossa sequência
, quando
aumenta,
também aumenta sem limite. Ou seja,
tende para
quando
tende para
.
Passo 4
Como
vai para
, podemos usar o comportamento da
que mencionei antes. Assim, quando
tende para
,
tende para
.
Passo 5
Portanto, aplicando isso na nossa sequência, temos que:
Isso significa que a sequência
converge, e o seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.