Exercícios
  1. Utilizando os valores da função seno, dados pela tabela abaixo, determinar a função quadrática que se aproxima de (considere 3 casas decimais):
f(x)=2 sen^2 xx+1
|c|c|c| hline $x$ & $operatorname s e n boldsymbol x $ & $f(x)$ hline 0 & 0 & 0,000 hline$pi / 6$ & 0,5 & 0,328 hline$pi / 4$ & $raiz2 / 2$ & 0,560 hline P2(x)=0,333 x^2+0,452 x
0 0 0,000
0,5 0,328
0,560
Solução:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função quadrática que se aproxime da função dada . Isso envolve matemática de funções e ajustes de curvas. A gente vai precisar usar os valores de que estão na tabela para determinar os coeficientes da função quadrática .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os pontos que temos na tabela:
|c|c|c| hline x & sin x & f(x) hline 0 & 0 & 0,000 hline pi6 & 0,5 & 0,328 hline pi4 & raiz22 & 0,560 hline
A ideia é usar esses pontos para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os coeficientes e da função quadrática.

Passo 3

Vamos supor que a função quadrática seja . Mas como o enunciado pede uma função que se aproxima e já sabemos que em , , podemos simplificar e considerar . Assim, temos .

Passo 4

Agora, vamos usar os outros dois pontos para montar o sistema de equações. Para 0,328 = a (pi6)^2 + b (pi6) :
0,560 = a (pi4)^2 + b (pi4)
E para :

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
0,328 = a (pi^236) + b (pi6)
Segunda equação:
0,560 = a (pi^216) + b (pi4)
Podemos simplificar essas equações para encontrar e .

Passo 6

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores dos coeficientes:
a approx 0,333 e b approx 0,452

Resposta

A função quadrática que se aproxima de P2(x) = 0,333,x^2 + 0,452,x é:

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