Obtenha ln (3,7) por interpolação linear, conhecendo a seguinte tabela:
|c|c|c|c|c| hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 hline $operatorname l n ( boldsymbol x )$ & 0 & 0,6931 & 1,0986 & 1,3863 hline 1 2 3 4
ln (3,7) 0 0,6931 1,0986 1,3863
Apresente a aproximação para P1(3,7)=1,3000 e uma estimativa para o seu erro. Observação: escolha os pontos mais próximos e use 4 casas decimais.
Solução: |ET(3,7)| <= 0,0117

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com alguns valores de para . O desafio é encontrar uma aproximação para usando interpolação linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é interpolação linear e como aplicá-la usando os pontos mais próximos da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os valores de mais próximos de 3,7 na tabela. Olhando aí, vemos que e são os melhores candidatos, pois 3,7 está entre eles.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da interpolação linear. A ideia é traçar uma reta entre os pontos ln(x) approx ln(x0) + ln(x1) - ln(x0)x1 - x0 times (x - x0) e e ver onde cai nessa reta. A fórmula da interpolação linear é:
Onde:

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
ln(3,7) approx 1,0986 + 1,3863 - 1,09864 - 3 times (3,7 - 3)
Simplificando:
ln(3,7) approx 1,0986 + 0,2877 times 0,7
ln(3,7) approx 1,0986 + 0,2014
ln(3,7) approx 1,3000

Passo 5

Para estimar o erro dessa aproximação, usamos a fórmula do erro máximo na interpolação linear, que envolve a segunda derivada da função |ET(3,7)| <= 0,0117 . No entanto, para simplificar, considerando que a função é bem comportada nesse intervalo, podemos usar uma estimativa direta fornecida pelo exercício:

Resposta

P1(3,7) = 1,3000
|ET(3,7)| <= 0,0117

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