Dada a função
, Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir os valores máximos e mínimos dessa função. Isso envolve um conteúdo de cálculo multivariado, especificamente sobre máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados e analisar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar a identificação dos pontos críticos. Vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, substituímos esses resultados de volta na função original:
Passo 4
Observando a forma final da função:
Percebemos que é uma soma de quadrados mais uma constante. Como qualquer quadrado é sempre maior ou igual a zero, o mínimo ocorre quando
e
.
Passo 5
Resolvendo essas equações:
Passo 6
Substituindo
e
na função para encontrar o valor mínimo de
:
Passo 7
Quanto ao valor máximo, como estamos lidando com uma função quadrática positiva em ambas as variáveis,
tende ao infinito à medida que
e
aumentam ou diminuem sem limites. Portanto, não há um valor máximo finito para essa função.
Resposta
A função
possui um mínimo em
com valor mínimo igual a -8, e não há um valor máximo finito.