Dada a função z = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5, Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função: z = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir os valores máximos e mínimos dessa função. Isso envolve um conteúdo de cálculo multivariado, especificamente sobre máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados e analisar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar a identificação dos pontos críticos. Vamos completar o quadrado para as variáveis e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, substituímos esses resultados de volta na função original:

Passo 4

Observando a forma final da função:
Percebemos que é uma soma de quadrados mais uma constante. Como qualquer quadrado é sempre maior ou igual a zero, o mínimo ocorre quando e .

Passo 5

Resolvendo essas equações:

Passo 6

Substituindo e na função para encontrar o valor mínimo de :

Passo 7

Quanto ao valor máximo, como estamos lidando com uma função quadrática positiva em ambas as variáveis, tende ao infinito à medida que e aumentam ou diminuem sem limites. Portanto, não há um valor máximo finito para essa função.

Resposta

A função possui um mínimo em com valor mínimo igual a -8, e não há um valor máximo finito.

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