De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual o de área total mínima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização! A questão fala sobre encontrar o paralelepípedo retângulo que, com um volume fixo, tem a área total mínima. Para isso, vamos precisar das fórmulas de volume e área total de um paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um paralelepípedo retângulo é dado por:
Onde
,
e
são as arestas do paralelepípedo.
Passo 3
A área total
é a soma das áreas de todas as faces. Então, temos:
Passo 4
Como o volume
é fixo, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para
:
Passo 5
Substituímos
na fórmula da área total:
Simplificando:
Passo 6
Para minimizar
, vamos encontrar os valores de
e
que fazem
ser mínima. Observando a expressão, fica claro que para
ser mínima,
e
devem ser iguais.
Passo 7
Assumindo
, substituímos na fórmula do volume:
Então:
Passo 8
Portanto, o paralelepípedo com área total mínima, dado um volume fixo
, é aquele onde todas as arestas são iguais, ou seja, um cubo.
Resposta
O paralelepípedo retângulo de área total mínima, com volume dado, é um cubo, onde todas as arestas são iguais a
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função:
Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de
cada uma e a aresta vertical decresce à razão de
, no instante
, em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm .
Determine o gradiente e a derivada direcional de
no ponto
e na direção da reta tangente à circunferência
no ponto
.
Determine a diferencial de
, onde
e
.