De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual o de área total mínima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização! A questão fala sobre encontrar o paralelepípedo retângulo que, com um volume fixo, tem a área total mínima. Para isso, vamos precisar das fórmulas de volume e área total de um paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo retângulo é dado por:
Onde , e são as arestas do paralelepípedo.

Passo 3

A área total é a soma das áreas de todas as faces. Então, temos:

Passo 4

Como o volume é fixo, podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para :

Passo 5

Substituímos na fórmula da área total:
Simplificando:

Passo 6

Para minimizar , vamos encontrar os valores de e que fazem ser mínima. Observando a expressão, fica claro que para ser mínima, e devem ser iguais.

Passo 7

Assumindo , substituímos na fórmula do volume:
Então:

Passo 8

Portanto, o paralelepípedo com área total mínima, dado um volume fixo , é aquele onde todas as arestas são iguais, ou seja, um cubo.

Resposta

O paralelepípedo retângulo de área total mínima, com volume dado, é um cubo, onde todas as arestas são iguais a .

Exercícios relacionados

Dada a função , Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função:
Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de cada uma e a aresta vertical decresce à razão de , no instante , em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm .
Determine o gradiente e a derivada direcional de no ponto e na direção da reta tangente à circunferência no ponto .
Determine a diferencial de , onde e .