Determine o gradiente e a derivada direcional de no ponto e na direção da reta tangente à circunferência no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente e a derivada direcional da função no ponto . Além disso, a direção que a gente vai usar para a derivada direcional é a da reta tangente à circunferência no ponto . Então, a matéria que a gente vai usar aqui envolve cálculo multivariável, especificamente gradientes e derivadas direcionais. Vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar vetores de direção e entender como funciona uma reta tangente a uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja, temos que calcular e .
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos o ponto nessas derivadas:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção da reta tangente à circunferência no ponto .
Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta tangente. A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. O vetor radial nesse ponto é . Um vetor tangente a essa circunferência pode ser encontrado trocando as componentes e invertendo o sinal de uma delas, por exemplo, .
Agora, normalizamos esse vetor para obter um vetor unitário:
Com o gradiente e o vetor unitário , a derivada direcional é o produto escalar entre eles:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a derivada direcional na direção da reta tangente é .

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