Dada a função f(x, y, z) = x^2 * y - y * z^3 + z :
Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, . O objetivo é descobrir em qual direção essa função sofre a maior taxa de variação e qual é exatamente essa taxa máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá essa direção e a taxa máxima.

Passo 2

O próximo passo é calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Vamos calcular cada uma delas:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, sabemos que ele aponta na direção da maior taxa de variação da função. Para encontrar essa direção específica, podemos considerar o vetor gradiente como a direção desejada.
A taxa máxima de variação é dada pelo módulo do gradiente. O módulo de um vetor é calculado por:

Passo 4

Vamos calcular o módulo do gradiente que encontramos:
Simplificando:
Esse valor representa a máxima taxa de variação da função na direção do gradiente.

Resposta

A função tem a máxima taxa de variação na direção do gradiente e a máxima taxa de variação é igual ao módulo desse gradiente, dado por:

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