Dada a função
:
Em que direção
tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Em que direção
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
. O objetivo é descobrir em qual direção essa função sofre a maior taxa de variação e qual é exatamente essa taxa máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá essa direção e a taxa máxima.
Passo 2
O próximo passo é calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Vamos calcular cada uma delas:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora que temos o gradiente, sabemos que ele aponta na direção da maior taxa de variação da função. Para encontrar essa direção específica, podemos considerar o vetor gradiente como a direção desejada.
A taxa máxima de variação é dada pelo módulo do gradiente. O módulo de um vetor
é calculado por:
Passo 4
Vamos calcular o módulo do gradiente que encontramos:
Simplificando:
Esse valor representa a máxima taxa de variação da função
na direção do gradiente.
Resposta
A função
tem a máxima taxa de variação na direção do gradiente
e a máxima taxa de variação é igual ao módulo desse gradiente, dado por:
Exercícios relacionados
Dada a função
:
Ache a derivada direcional de no ponto
, na direção do vetor
.
Ache a derivada direcional de
Dada a função
, determine
e
.
Calcule as integrais a seguir:
Calcule os limites a seguir: