Dada a função
por
, pede-se: O gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenhar o gráfico da função
. Isso envolve conceitos de funções polinomiais e como elas se comportam no gráfico. Para resolver, vamos precisar entender como identificar pontos importantes como máximos, mínimos, e o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função polinomial. É uma função do tipo
. O grau do polinômio (o maior expoente de
) nos dá informações sobre o comportamento da função no infinito.
Passo 3
Nosso polinômio é de quarto grau porque o maior expoente é 4. Funções de quarto grau geralmente têm a forma de “W” ou “M”, dependendo dos coeficientes. Como o coeficiente de
é positivo (
), o gráfico vai subir para
quando
vai para
e também para
quando
vai para
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos). A primeira derivada é:
Passo 5
Agora, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. A segunda derivada é:
Passo 7
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
Passo 9
Agora, resumindo as informações:
-
Pontos críticos:
-
– mínimo relativo -
– máximo relativo -
– mínimo relativo
-
-
Comportamento no infinito:
- Quando
,
- Quando
Passo 10
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Começa em
quando . - Desce até o mínimo em
. - Sobe até o máximo em
. - Desce novamente até o mínimo em
. - Finalmente, sobe para
quando .
Resposta
O gráfico de
é uma curva em forma de “W” que tem um mínimo relativo em
, atinge um máximo relativo em
, e depois desce para outro mínimo em
antes de subir novamente para
nos dois extremos.
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das funções:
Determine os intervalos onde a função dada é crescente e onde é decrescente. Calcule seus pontos de Máximo e/ou de Mínimo (se existentes).
Use a definição e determine a derivada das funções abaixo:
Ache a equação da reta tangente à parábola
no ponto