Dada a função f: R -> R por f(x) = x^4/4 - 5*x^3/3 + 3*x^2 - 1, pede-se: O gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenhar o gráfico da função . Isso envolve conceitos de funções polinomiais e como elas se comportam no gráfico. Para resolver, vamos precisar entender como identificar pontos importantes como máximos, mínimos, e o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função polinomial. É uma função do tipo . O grau do polinômio (o maior expoente de ) nos dá informações sobre o comportamento da função no infinito.

Passo 3

Nosso polinômio é de quarto grau porque o maior expoente é 4. Funções de quarto grau geralmente têm a forma de “W” ou “M”, dependendo dos coeficientes. Como o coeficiente de é positivo ( ), o gráfico vai subir para quando vai para e também para quando vai para .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos). A primeira derivada é:

Passo 5

Agora, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. A segunda derivada é:

Passo 7

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
í
  • Para :
á
  • Para :
í

Passo 8

Vamos encontrar os valores de nesses pontos:

Passo 9

Agora, resumindo as informações:
  • Pontos críticos:
    • – mínimo relativo
    • – máximo relativo
    • – mínimo relativo
  • Comportamento no infinito:
    • Quando ,

Passo 10

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Começa em quando .
  2. Desce até o mínimo em .
  3. Sobe até o máximo em .
  4. Desce novamente até o mínimo em .
  5. Finalmente, sobe para quando .

Resposta

O gráfico de é uma curva em forma de “W” que tem um mínimo relativo em , atinge um máximo relativo em , e depois desce para outro mínimo em antes de subir novamente para nos dois extremos.

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