Use a definição e determine a derivada das funções abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função usando a definição de derivada. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada baseada em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada para uma função no ponto :

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função , temos:

Passo 4

Agora, precisamos simplificar a expressão . Para isso, usamos a fórmula da tangente da soma:

Passo 5

Substituindo essa fórmula na expressão da derivada, ficamos com:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:

Passo 7

Sabemos que:
e

Passo 8

Portanto, substituindo esses limites na expressão, temos:

Resposta

A derivada da função é .

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