Determine os intervalos onde a função dada é crescente e onde é decrescente. Calcule seus pontos de Máximo e/ou de Mínimo (se existentes).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo no intervalo de a . A gente vai usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar essas partes e também identificar os pontos de máximo e mínimo da função.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos derivar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Usando a identidade , substituímos:
Fatorando :
Então, temos duas equações:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação :
Resolvendo a segunda equação :
As soluções nesse intervalo são:

Passo 5

Agora, temos os pontos críticos: . Vamos usar a derivada segunda ou o teste da derivada para determinar se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Vamos avaliar a derivada em intervalos entre esses pontos para ver o sinal de :
  1. Para em :
    • Escolha :
    • (positivo → crescente)
  2. Para em :
    • Escolha :
    • (negativo → decrescente)
  3. Para em :
    • Escolha :
    • (negativo → decrescente)
  4. Para em :
    • Escolha :
    • Já vimos que (negativo → decrescente)
  5. Para em :
    • Escolha :
    • (positivo → crescente)

Passo 6

Com base nos sinais da derivada:
  • A função está crescente nos intervalos:
  • A função está decrescente nos intervalos:

Passo 7

Para os pontos de máximo e mínimo:
  • Em : A derivada muda de positiva para negativa → máximo local
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva → mínimo local

Resposta

A função está crescente nos intervalos e , e decrescente em . Possui um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .

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