Determine os intervalos onde a função dada é crescente e onde é decrescente. Calcule seus pontos de Máximo e/ou de Mínimo (se existentes).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir onde a função
está crescendo ou decrescendo no intervalo de
a
. A gente vai usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar essas partes e também identificar os pontos de máximo e mínimo da função.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos derivar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Usando a identidade
, substituímos:
Fatorando
:
Então, temos duas equações:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação
:
Resolvendo a segunda equação
:
As soluções nesse intervalo são:
Passo 5
Agora, temos os pontos críticos:
. Vamos usar a derivada segunda ou o teste da derivada para determinar se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Vamos avaliar a derivada em intervalos entre esses pontos para ver o sinal de
:
-
Para
em : - Escolha
: -
(positivo → crescente)
- Escolha
-
Para
em : - Escolha
: -
(negativo → decrescente)
- Escolha
-
Para
em : - Escolha
: -
(negativo → decrescente)
- Escolha
-
Para
em : - Escolha
: - Já vimos que
(negativo → decrescente)
- Escolha
-
Para
em : - Escolha
: -
(positivo → crescente)
- Escolha
Passo 6
Com base nos sinais da derivada:
-
A função está crescente nos intervalos:
-
-
A função está decrescente nos intervalos:
-
Passo 7
Para os pontos de máximo e mínimo:
- Em
: A derivada muda de positiva para negativa → máximo local - Em
: A derivada muda de negativa para positiva → mínimo local
Resposta
A função
está crescente nos intervalos
e
, e decrescente em
. Possui um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
.
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Determinar a derivada das funções:
Dada a função
por
, pede-se: O gráfico de
.