Dada a função por , pede-se:
(a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de .
(b) Os pontos extremos locais e/ou globais.
© Um estudo da concavidade/convexidade do gráfico.
(d) Os pontos de inflexão.
(e) O gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função cresce ou decresce, encontrar extremos, estudar a concavidade e identificar pontos de inflexão. Além disso, vamos desenhar o gráfico dessa função.

Passo 2

(a) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos encontrar a primeira derivada .
A derivada de é:
Agora, encontramos os pontos críticos onde :
Então, os pontos críticos são , e .
Agora, analisamos o sinal de nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : Escolha , (decrescente)
  • Para : Escolha , (crescente)
  • Para : Escolha , (decrescente)
  • Para : Escolha , (crescente)
Intervalos:
  • Crescente em e
  • Decrescente em e

Passo 3

(b) Pontos extremos locais e/ou globais
Os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa são chamados de extremos. Vimos que:
  • Em : a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local
  • Em : a função muda de crescente para decrescente → Máximo local
  • Em : a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local
Para encontrar as coordenadas desses pontos, substituímos os valores de na função :
  • :
Ponto mínimo local:
  • :
Ponto máximo local:
  • :
Ponto mínimo local:

Passo 4

© Estudo da concavidade/convexidade do gráfico
Para analisar a concavidade, vamos usar a segunda derivada .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Resolvemos para encontrar possíveis mudanças na concavidade:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são e .
Agora, analisamos o sinal de nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : → Concava para cima
  • Para : → Concava para baixo
  • Para : → Concava para cima

Passo 5

(d) Pontos de inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Os pontos de inflexão estão em:
Para encontrar as coordenadas, substituímos esses valores em :
  • Para :
(Fica complexo, mas é só substituir e calcular)
  • Para :
(Igualmente complicado, mas é só substituir e calcular)

Passo 6

(e) Gráfico de
Com todas as informações obtidas:
  • Sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo
  • Conhecemos os pontos extremos
  • Entendemos a concavidade do gráfico
  • Identificamos os pontos de inflexão
Podemos esboçar o gráfico colocando os pontos críticos, os extremos, os pontos de inflexão e indicando as regiões de crescimento/decrescimento e concavidade. Lembre-se de que a função é do quarto grau, então os gráficos geralmente têm duas curvas de concavidade e dois ramos.

Resposta

(a) Intervalos de crescimento: e
Intervalos de decrescimento: e
(b) Pontos extremos:
  • Mínimo local em
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
© Concavidade:
  • Concava para cima em
  • Concava para baixo em
  • Concava para cima em
(d) Pontos de inflexão:
(e) Gráfico de : Esboçado com base nas informações dos itens anteriores, mostrando os intervalos de crescimento/decrescimento, pontos extremos, concavidades e pontos de inflexão.

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Calcule:
Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Calcule:
Resolva as seguintes equações: