Dada a função
por
, pede-se:
(a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
(b) Os pontos extremos locais e/ou globais.
© Um estudo da concavidade/convexidade do gráfico.
(d) Os pontos de inflexão.
(e) O gráfico de
.
(a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de
(b) Os pontos extremos locais e/ou globais.
© Um estudo da concavidade/convexidade do gráfico.
(d) Os pontos de inflexão.
(e) O gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função
. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função cresce ou decresce, encontrar extremos, estudar a concavidade e identificar pontos de inflexão. Além disso, vamos desenhar o gráfico dessa função.
Passo 2
(a) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos encontrar a primeira derivada
.
A derivada de
é:
Agora, encontramos os pontos críticos onde
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Agora, analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos:
- Para
: Escolha , (decrescente) - Para
: Escolha , (crescente) - Para
: Escolha , (decrescente) - Para
: Escolha , (crescente)
Intervalos:
- Crescente em
e - Decrescente em
e
Passo 3
(b) Pontos extremos locais e/ou globais
Os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa são chamados de extremos. Vimos que:
- Em
: a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local - Em
: a função muda de crescente para decrescente → Máximo local - Em
: a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local
Para encontrar as coordenadas desses pontos, substituímos os valores de
na função
:
-
:
Ponto mínimo local:
-
:
Ponto máximo local:
-
:
Ponto mínimo local:
Passo 4
© Estudo da concavidade/convexidade do gráfico
Para analisar a concavidade, vamos usar a segunda derivada
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Resolvemos
para encontrar possíveis mudanças na concavidade:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são
e
.
Agora, analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos:
- Para
: → Concava para cima - Para
: → Concava para baixo - Para
: → Concava para cima
Passo 5
(d) Pontos de inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Os pontos de inflexão estão em:
Para encontrar as coordenadas, substituímos esses valores em
:
- Para
:
(Fica complexo, mas é só substituir e calcular)
- Para
:
(Igualmente complicado, mas é só substituir e calcular)
Passo 6
(e) Gráfico de
Com todas as informações obtidas:
- Sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo
- Conhecemos os pontos extremos
- Entendemos a concavidade do gráfico
- Identificamos os pontos de inflexão
Podemos esboçar o gráfico colocando os pontos críticos, os extremos, os pontos de inflexão e indicando as regiões de crescimento/decrescimento e concavidade. Lembre-se de que a função é do quarto grau, então os gráficos geralmente têm duas curvas de concavidade e dois ramos.
Resposta
(a) Intervalos de crescimento:
e
Intervalos de decrescimento: e
Intervalos de decrescimento:
(b) Pontos extremos:
- Mínimo local em
- Máximo local em
- Mínimo local em
© Concavidade:
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Concava para cima em
(d) Pontos de inflexão:
(e) Gráfico de
: Esboçado com base nas informações dos itens anteriores, mostrando os intervalos de crescimento/decrescimento, pontos extremos, concavidades e pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Calcule:
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Calcule:
Resolva as seguintes equações: