Decida se cada função f: R -> R possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: f(x) = 4^(2x) - 16

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa descobrir se ela tem alguma raiz, ou seja, se existe algum valor de x que faz . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma raiz da função. Procurar uma raiz de f(x) é o mesmo que resolver a equação . Então, vamos igualar a função a zero:

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo exponencial. Para isso, somamos 16 em ambos os lados da equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Sabemos que 16 pode ser escrito como uma potência de 4:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Quando as bases das potências são iguais, podemos igualar os expoentes. Assim, temos:

Passo 6

Agora, é só resolver para x dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A função tem uma raiz em x = 1.

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